酉矩阵/幺正矩阵（Unitary Matrix）
作者：互联网
酉矩阵/幺正矩阵
酉矩阵Q的列向量都是标准正交的
酉矩阵的特征值的绝对值为1
例子：
判断三阶傅里叶矩阵是否为厄米特矩阵？是否为酉矩阵？
矩阵满足 A = A H A=A^H A=AH的为厄米特矩阵、矩阵满足列向量都是标准正交的为酉矩阵
上图中
e
4
π
3
i
e^{\frac{4\pi}{3}i}
e34πi是
e
2
π
3
i
e^{\frac{2\pi}{3}i}
e32πi的共轭【即关于实轴对称】
判断是否为厄米特矩阵
F
ˉ
T
=
F
H
=
1
3
[
1
1
1
1
e
−
2
π
i
/
3
e
−
4
π
i
/
3
1
e
−
4
π
i
/
3
e
−
2
π
i
/
3
]
≠
F
\bar{F}^T=F^H=\frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & e^{-2\pi i/3} & e^{-4\pi i/3}\\ 1 & e^{-4\pi i/3} & e^{-2\pi i/3} \end{bmatrix}\neq F
FˉT=FH=3
1⎣⎡1111e−2πi/3e−4πi/31e−4πi/3e−2πi/3⎦⎤=F
由于
F
≠
F
H
F\neq F^H
F=FH，所以该矩阵不是厄米特矩阵
判断是否为酉矩阵
检查第一列是否标准正交于第二列
(
column
1
)
H
(
column
2
)
=
1
3
[
1
1
1
]
1
3
[
1
e
2
π
i
/
3
e
4
π
i
/
3
]
=
1
3
(
1
+
e
2
π
i
/
3
+
e
4
π
i
/
3
)
=
0
(\text{column}\ 1)^H(\text{column}\ 2)=\frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix}1 & 1 & 1\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix}1 \\ e^{2\pi i/3} \\ e^{4\pi i/3}\end{bmatrix}=\frac{1}{3}(1+e^{2\pi i/3}+e^{4\pi i/3})=0
(column 1)H(column 2)=3
1[111]3
1⎣⎡1e2πi/3e4πi/3⎦⎤=31(1+e2πi/3+e4πi/3)=0
e
2
π
i
/
3
=
cos
(
2
π
/
3
)
+
i
sin
(
2
π
/
3
)
e^{2\pi i/3}=\cos(2\pi /3)+i\sin(2\pi /3)
e2πi/3=cos(2π/3)+isin(2π/3)
e
4
π
i
/
3
=
cos
(
4
π
/
3
)
+
i
sin
(
4
π
/
3
)
e^{4\pi i/3}=\cos(4\pi /3)+i\sin(4\pi /3)
e4πi/3=cos(4π/3)+isin(4π/3)
e
2
π
i
/
3
+
e
4
π
i
/
3
=
−
1
/
2
−
1
/
2
+
i
0
=
−
1
e^{2\pi i/3}+e^{4\pi i/3}=-1/2-1/2+i0=-1
e2πi/3+e4πi/3=−1/2−1/2+i0=−1
检查第二列是否标准正交于第三列
第一列标准正交于第二列、第二列标准正交于第三列
所以矩阵
F
F
F是酉矩阵
由于F是酉矩阵，所以其满足酉矩阵的特殊性质：
F
−
1
=
F
H
F^{-1}=F^H
F−1=FH
标签：酉矩阵,cos,Unitary,frac,Matrix,矩阵,bmatrix,pi 来源： https://blog.csdn.net/weixin_48524215/article/details/122784998