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P3243 [HNOI2015]菜肴制作

作者:互联网

题面

知名美食家小 A 被邀请至 ATM 大酒店,为其品评菜肴。ATM 酒店为小 A 准备了 \(n\) 道菜肴,酒店按照为菜肴预估的质量从高到低给予 \(1\) 到 \(n\) 的顺序编号,预估质量最高的菜肴编号为 \(1\)。

由于菜肴之间口味搭配的问题,某些菜肴必须在另一些菜肴之前制作,具体的,一共有 \(m\) 条形如 \(i\) 号菜肴必须先于 \(j\) 号菜肴制作的限制,我们将这样的限制简写为 \((i,j)\)。

现在,酒店希望能求出一个最优的菜肴的制作顺序,使得小 A 能尽量先吃到质量高的菜肴:

也就是说,

  1. 在满足所有限制的前提下,\(1\) 号菜肴尽量优先制作。

  2. 在满足所有限制,\(1\) 号菜肴尽量优先制作的前提下,\(2\) 号菜肴尽量优先制作。

  3. 在满足所有限制,\(1\) 号和 \(2\) 号菜肴尽量优先的前提下,\(3\) 号菜肴尽量优先制作。

  4. 在满足所有限制,\(1\) 号和 \(2\) 号和 \(3\) 号菜肴尽量优先的前提下,\(4\) 号菜肴尽量优先制作。

  5. 以此类推。

例 1:共 \(4\) 道菜肴,两条限制 \((3,1)\)、\((4,1)\),那么制作顺序是 \(3,4,1,2\)。

例 2:共 \(5\) 道菜肴,两条限制 \((5,2)\)、\((4,3)\),那么制作顺序是 \(1,5,2,4,3\)。

例 1 里,首先考虑 \(1\),因为有限制 \((3,1)\) 和 \((4,1)\),所以只有制作完 \(3\) 和 \(4\) 后才能制作 \(1\),而根据 3,\(3\) 号又应尽量比 \(4\) 号优先,所以当前可确定前三道菜的制作顺序是 \(3,4,1\);接下来考虑 \(2\),确定最终的制作顺序是 \(3,4,1,2\)。

例 \(2\) 里,首先制作 \(1\) 是不违背限制的;接下来考虑 \(2\) 时有 \((5,2)\) 的限制,所以接下来先制作 \(5\) 再制作 \(2\);接下来考虑 \(3\) 时有 \((4,3)\) 的限制,所以接下来先制作 \(4\) 再制作 \(3\),从而最终的顺序是 \(1,5,2,4,3\)。现在你需要求出这个最优的菜肴制作顺序。无解输出 Impossible!(首字母大写,其余字母小写)

分析

如果将做菜变成一个有向无环图(DAG),那么Impossible!的情况就是出现了闭环,不是DAG了。

那剩下的呢?用拓扑排序,怎么拓扑呢?设编号小的菜为 \(a\),编号大的菜为 \(b\)。我们想要 \(a\) 尽量往前靠,可贪心很容易举出反例,这样做不好。那么换种方向,我们让 \(b\) 尽量往后靠,不论\(b\) 具体在哪,我们都保证 \(a\) 在前面,因此就需要反向跑拓扑。让 \(b\) 连向 \(a\),跑反图的拓扑。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define cclear(x) memset((x),0,sizeof((x)))
#define final const
using namespace std;

const int MAXN = (1e5+5);
int n,m,cnt;
int indeg[MAXN],ans[MAXN];
vector<int> edge[MAXN];

inline void toposort(){
	priority_queue<int> pq;
	//大根堆的初始化 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!indeg[i]){
			pq.push(i);
		}
	}
	while(!pq.empty()){
		final int tmp=pq.top();
		pq.pop();
		ans[++cnt]=tmp;
		for(int it:edge[tmp]){
			indeg[it]--;
			if(!indeg[it]){
				pq.push(it);
			}
		}
	}
}

int main(){
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		// 清除残余的数据 
		cnt=0;
		cclear(ans);
		cclear(indeg);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			edge[i].clear();
		}
		cin>>n>>m;
		for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
			cin>>x>>y;
			edge[y].push_back(x); // 反向建图
			indeg[x]++; 
		}
		// 跑一遍拓扑排序
		toposort(); 
		if(cnt<n){
			cout<<"Impossible!";
		}
		else{
			for(int i=n;i>=1;i--){
				// 反向建图当然要倒序输出
				cout<<ans[i]<<' '; 
			}
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

鸣谢

参考资料:

标签:菜肴,顺序,限制,int,HNOI2015,P3243,尽量,制作
来源: https://www.cnblogs.com/xiezheyuan/p/15846560.html