RTR4笔记--PBR

这只是笔记，有很多理解和翻译错误的，请谨慎参考

文章目录

• 1 Physics of Light
• 基本概念
• 定义
• Particles
• 介质
• Surface
• Subsurface Scattering
• BRDF
• 2 Camera
• 4 BRDF(bidirectional reflectance distribution function)
• 考虑折射率方程
• directional-hemispherical reflectance $R(\vec l)$
• Lambertian BRDF
• 5 Illumination
• 6 Fresnel Reflectance
• 常见物质的$F_0$
• 金属的菲涅尔反射
• 半导体的菲涅尔反射
• 水的菲涅尔反射
• 参数化Fresnel Values
• Internal Reflection
• Microgeometry
• 7 Microfacet Theory
• 8 BRDF Models for Surface Reflection
• specular term
• normal distribution functions(D项)
• 9 BRDF Model for Subsurface Scattering
• 10 BRDF Models for Cloth
• 11 Wave Optics BRDF Models
• 12 Layered Materials
• 13 Blending And Filtering Materials

1 Physics of Light

基本概念

可见光波长400~700 nm

能量

辐射度

定义

符号	定义	说明
$\vec l$l	光源方向
$\vec v$v	视线反方向
$\vec p$p​	片元点
$\vec n$n	法线
$c_{light}$clight​	光源的颜色
$\vec l_c$lc​	光源原点
$\vec r_i$ri​	反射光线	与法线夹角$\theta_i$θi​

关键角度

符号	定义	说明
$\theta$θ	光线与法线夹角

Azimuth angles $\phi_i$ϕi​ and $\phi_0$ϕ0​are given with respect to a given tangent
vector $\vec t$t. The relative azimuth angle $\phi$ϕ, used for isotropic BRDFs instead of $\phi_i$ϕi​ and $\phi_0$ϕ0​, does not require a reference tangent vector.

Particles

介质

IOR n

原始波和新波的速度比

让波速减少的介质有衰减系数k(kappa)

Surface

折射

$\frac{\sin(\theta_t)}{\sin(\theta_i)}=\frac{n_1}{n_2}$sin(θi​)sin(θt​)​=n2​n1​​

微表面

Subsurface Scattering

次表面散射

BRDF

$L_i(\vec c,-\vec v)=L_0(\vec p,\vec v)$Li​(c,−v)=L0​(p​,v)

$\vec c$c 指camera pos

$\vec v$v 指点到摄像机的射线

$\vec p$p​ 指片元点,也就是view ray与surface的焦点(intersection)

2 Camera

4 BRDF(bidirectional reflectance distribution function)

$f(\vec l,\vec v)$f(l,v)

S(V)BRDF

考虑折射率方程

$L_0(\vec p,\vec v) = \int_{\vec l \in \Omega}f(\vec l,\vec v)L_i(\vec p,\vec l)(\vec n \cdot \vec l)d\vec l$L0​(p​,v)=∫l∈Ω​f(l,v)Li​(p​,l)(n⋅l)dl

$\vec l \in \Omega$l∈Ω

对于点$p$p,起折射率为

$L_0(\vec v) =\int_{\vec l \in \Omega}f(\vec l,\vec v)L_i(\vec l)(\vec n \cdot \vec l)d\vec l$L0​(v)=∫l∈Ω​f(l,v)Li​(l)(n⋅l)dl

在球坐标下，通常用角度$\phi$ϕ 、$\theta$θ来描述

$d\vec l$dl = $\sin(\theta_i)d\theta_id\phi_i$sin(θi​)dθi​dϕi​

$\vec n \cdot \vec l$n⋅l = $\cos\theta_i$cosθi​

于是有

$L_0(\theta_0,\phi_0)=\int_{\phi_i=0}^{2\pi}\int_{\theta_i=0}^{\frac{\pi}{2}}f(\theta_i,\phi_i,\theta_0,\phi_0)L(\theta_i,\phi_i)\cos\theta_i\sin\theta_id\theta_id\phi_i$L0​(θ0​,ϕ0​)=∫ϕi​=02π​∫θi​=02π​​f(θi​,ϕi​,θ0​,ϕ0​)L(θi​,ϕi​)cosθi​sinθi​dθi​dϕi​

$\theta_i$θi​

$\phi_i$ϕi​

$\theta_0$θ0​

$\phi_0$ϕ0​

BRDF只定义了view和light位于surface上方的情况

意味着$\vec n\cdot\vec l$n⋅l需要calmp(0,)

为了避免除0，通常用abs($\vec n\cdot\vec l$n⋅l)*0.00001

BRDF原则

1. 互异性:$f(\vec l,\vec v)=f(\vec v,\vec l)$f(l,v)=f(v,l)
2. 能量守恒:输出能量<=输入能量

directional-hemispherical reflectance $R(\vec l)$R(l)

描述BRDF能量损失程度，也就是surface的粗糙度roughenss

$R(\vec l)=\int_{\vec v \in \Omega}f(\vec l,\vec v)(\vec n\cdot\vec v)d\vec v$R(l)=∫v∈Ω​f(l,v)(n⋅v)dv $\in[0,1]$∈[0,1]

放射方程中的$\vec v$v、$\vec l$l 是整个半球的。。

类似的

$R(\vec v)=\int_{\vec l \in \Omega}f(\vec l,\vec v)(\vec n\cdot\vec v)d\vec l$R(v)=∫l∈Ω​f(l,v)(n⋅v)dl

Lambertian BRDF

最简单的BRDF是Lambertian

其中$\vec n\cdot\vec l$n⋅l 项简化了

real-time rending常用

$f(\vec l,\vec v)是一个常数

$R(\vec l)=\pi f(\vec l,\vec v)$R(l)=πf(l,v)

漫反射(constant relfectance) diffuse color $c_{diff}$cdiff​ 或者albedo $\rho$ρ，次表面subsurface albedo $\rho_ss$ρs​s

$f(\vec l,\vec v)=\frac{\rho_{ss}}{\pi}$f(l,v)=πρss​​

其中$\frac{1}{\pi}$π1​时由于半球上积分余弦因子产生

这里抽象一个模型，假设入射光恒定

输出为:diffuse,specular lobe,

1上为Lambertian BRDF(简单球形)

2.上为Blinn-Phong highlighting+Lambertian term

3.上为Cook-Torrance BRDF

1.下a close-up of Ward’s anisotropic model。tilt the specular lobe

2.下Hapke/Lommel -Seeliger "Lunnar surface " BRDF

3.下Lommel-Seeliger scattering

5 Illumination

$L_i(\vec l)$Li​(l) term 描述反射方程在shaded surface point的光

Global illumination(GI)通过光在整个场景的弹射等效果计算$L_i(\vec l)$Li​(l),这种策略将反射考虑进来了。

这一节，描述的时local illumination，也就是假设一直$L_i(\vec l)$Li​(l)，计算每个点使用GI时该如何计算光照。

真实场景,$L_i(\vec l)$Li​(l)计算了所有方向的来自光源或表面反射的非0辐射,真实世界的光为area lights。本节讨论的时虚拟的方向光或精确坐标的光源

将方向光的影响极限趋近为0时，可以积分方程可以简化为单个计算更少的BRDF方程

$L_0(\vec v)=\pi f(\vec l_c,\vec v)c_{light}(\vec n\cdot\vec l_c)$L0​(v)=πf(lc​,v)clight​(n⋅lc​)

为了确保背面的光不被计算进来，$(\vec n,\vec l)$(n,l)需要clamped to 0

$L_0(\vec v)=\pi f(\vec l_c,\vec v)c_{light}(\vec n\cdot\vec l_c)^+$L0​(v)=πf(lc​,v)clight​(n⋅lc​)+

对于n个光源

$L_0(\vec v)=\pi \sum_{i=1}^n f(\vec l_{c_i},\vec v)c_{light_i}(\vec n \cdot \vec l_{c_i})^+$L0​(v)=π∑i=1n​f(lci​​,v)clighti​​(n⋅lci​​)+

其中$\vec l_{c_i}$lci​​为光源方向,$c_{light_i}$clighti​​为光源颜色

其中$\pi$π因子被BRDFs中出现的$\frac{1}{\pi}$π1​抵消，但公式、论文中不能简化。

6 Fresnel Reflectance

物体的表面由其周围的介质和substance组成。光源在两个介质间相互作用遵守Fresnel equations(Augustin-Jean Fresnel).

菲涅尔对surface有几何假设:表面不含有光波波长的1~100倍的不规则

光与与表面作用后分成两部分：反射、折射

反射光用$\vec r_i$ri​表示，它与$\vec n$n夹角为$\vec \theta_i$θi​,根据入射光线$\vec l$l和$\vec n$n可以计算的到

$\vec r_i = 2(\vec n\cdot \vec l)\vec n - \vec l$ri​=2(n⋅l)n−l

反射的量由Fresnel reflectance F描述,该变量由$\theta_i$θi​决定

$F(\theta_i)$F(θi​) 当做RGB处理，规则

• 当$\theta_i = 0^o$θi​=0o,也就是光线垂直入射时，有$F_0$F0​,也被认为是该物质的镜面反射颜色，也叫垂直入射
• 随着$\theta_i$θi​上升，$F(\theta_i)$F(θi​)也上升，当$\theta_i = 90^o$θi​=90o,$F(\theta_i) = 1$F(θi​)=1 (白色)
• 上升的曲线由物质决定，

上图依次为:玻璃、铜、铝的Fresnel reflectance.可以看到，不同波长的光的曲线不同，不同物质相同波长的曲线不同。波长由可以找到对应光颜色，也就是不同颜色的光的反射结果不同。玻璃这种物质的F与光颜色无光。

我们使用$F(\vec n,\vec l)$F(n,l)而不用$\theta_i$θi​,Fresnel function时BRDF的一部分。

$F_0$F0​由物质决定，在rough工作流，常简化

$F$F项计算方法(Schlick):

$F(\vec n,\vec l)\approx F_0+(1-F_0)(1-(\vec n\cdot\vec l)^+)^5$F(n,l)≈F0​+(1−F0​)(1−(n⋅l)+)5

这个公式时白色和$F_0$F0​的非线性差值结果。

另一种计算的方案(Gulbrandsen),不能用来实时计算。这个曲线更拟合金属的Fresnel equations。

对于Schlick,$F_0$F0​只是一个参数，下面的方程介绍了如何通过两种介质的折射率计算$F_0$F0​,这里用n代替了$n_2$n2​,这里$n_1=1$n1​=1(空气环境下)

$F_0={(\frac{n-1}{n+1})}^2$F0​=(n+1n−1​)2

该值转化为RGB颜色的公式在8.1.3介绍颜色空间时提及

软件中常用公式为

$F(\vec n,\vec l) \approx F_0 + (F_{90} - F_0)(1-(\vec n\cdot\vec l)^+)^{\frac{1}{p}}$F(n,l)≈F0​+(F90​−F0​)(1−(n⋅l)+)p1​

设置$F_{90}$F90​为非白色可以描述Fresnel 方程无法描述的物质，比如覆盖物质上的灰尘

常见物质的$F_0$F0​

主要分三类：绝缘体(insulators),半导体(semiconductor),导体(conductor)

Dielectrics 的$F_0$F0​很低，通常<=0.06,菲涅尔效果明显

对于未知物质通常使用0.04

Dielectric	Linear	Texture(sRGB)	Color	Notes
Water	0.02	39
Living tissue	0.02-0.04	39-56		Watery tissues are toward the lower bound, dry ones are higher
Skin	0.028	47
Eyes	0.025	44		Dry cornea (tears have a similar value to water)
Hair	0.046	61
Teeth	0.058	68
Fabric	0.04-0.056	53-67		Polyester highest, most others under 0.05
Stone	0.035-0.056	53-67		Values for the minerals most often found in stone
Plastics, glass	0.04-0.05	56-63		Not including crystal glass
Crystal glass	0.05-0.07	63-75
Gems	0.05-0.08	63-80		Not including diamonds and diamond simulants
Diamond-like	0.13-0.2	101-124		Diamonds and diamond simulants(e.g., cubic zirconia, moissanite)

金属的菲涅尔反射

金属的$F_0$F0​很大，通常高于0.5

半导体的菲涅尔反射

介于导体和绝缘体之间，范围为[0.2,0.45]

水的菲涅尔反射

之前讨论的菲涅尔反射全是基于空气的，真空或者液体环境下值是不一样的，也就是不能假设$n_1 = 1$n1​=1了，此时我们需要使用如下公式计算$F_0$F0​

$F_0=(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2})^2$F0​=(n1​+n2​n1​−n2​​)2

通常$n_1\not= 1$n1​̸​=1是水下场景。也有可能是其他情况，比如雾

参数化Fresnel Values

常用的参数化时将$F_0$F0​和diffuse color $\rho_{ss}$ρss​合并，这种方法能是的金属这类无diffuse color和电解质具有一组受限的$F_0$F0​.它包含一个RGB颜色$C_{surf}$Csurf​和一个标量m–metallic/metalness

• 如果$m=1$m=1,$F_0$F0​为$c_{surf}$csurf​,$\rho_{ss}是black;
• 如果$m=0$m=0,$F_0$F0​为电解质值(是一个常量(0.04)或被额外参数控制的值),$c_{surff} = \rho_{ss}$csurff​=ρss​

"metalness"最早被Brown University使用，电影$Wall-E$Wall−E.迪士尼动画电影$Wreck-It$Wreck−It中的$Disney principled$Disneyprincipled光照模型中使用了一个额外的变量"specular"来控制$F_0$F0​,这个参数化方法被Unreal Engine和Frostbite engine使用来描述非电解质的范围较广的$F_0$F0​.游戏$Call of Duty:Infinite Warfare$CallofDuty:InfiniteWarfare使用压缩算法将两个值压缩为一个值，节省内存。$Overwatch$Overwatch也是用了一种压缩算法：

mixed.rg为图片使用通道

$metallic = saturate(2*mixed.r-1)^2;$metallic=saturate(2∗mixed.r−1)2;

$diffuse = albedo.rgb*(1-metallic);$diffuse=albedo.rgb∗(1−metallic);

$F_0=saturate(mixed.r-0.25)$F0​=saturate(mixed.r−0.25)

$F_0=F_0*0.06+0.02$F0​=F0​∗0.06+0.02

$specular=lerp(F_0,albedo,metallic)$specular=lerp(F0​,albedo,metallic)

$onemiusref=(1-metallic)*(1-F_0)$onemiusref=(1−metallic)∗(1−F0​)

多数实时渲染引擎使用metalness值而不直接使用$F_0$F0​和$\rho_{ss}$ρss​是出于使用方便和节省G-buffer.在游戏Call of Duty: Infinite Warfare中，美术绘制$F_0$F0​和$\rho_{ss}$ρss​的纹理，再通过压缩算法存储到一个同道中。

metalness工作流有几个缺点:它不能描述有些种类的材质，比如具有着色$F_0$F0​的电镀金属。美术可以手动调整得到中间值。

另一个被实时渲染引擎使用的参数化技巧:除了特种抗折射涂层，没有一个材质的$F_0$F0​时小于0.02的。这个技巧用来高亮边缘。这里没有使用额外的occ纹理，而是将小于0.02部分用来“关闭”菲涅尔边缘增强。这项技术被Schuler发明，用于UE和Frostbite engiens.

Internal Reflection

次表面反射

当$n_1&gt;n_2$n1​>n2​会发生次表面反射

次表面只有绝缘体会有，

$\sin_{\theta_c}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{1-\sqrt F_0}{1+\sqrt F_0}$sinθc​​=n1​n2​​=1+F​0​1−F​0​​

Microgeometry

关于法线

7 Microfacet Theory

微表面理论

micro-BRDF $f_u(\vec l,\vec v,\vec m) $ 混合了所有微表面的反射光

左侧，我们看到积分项$D(\vec m)(\vec n\cdot \vec m)$D(m)(n⋅m),

右侧，积分项$D(\vec m)(\vec v\cdot \vec m)$D(m)(v⋅m)，$\cos(\theta_o)=(\vec v\cdot\vec n)$cos(θo​)=(v⋅n)

称为*normal distribution function * or NDF,使用符号$D(\vec m)$D(m)表示,也称为D项,微表面法线的贡献，更有用的时积分$D(\vec m)(\vec n\cdot\vec m)$D(m)(n⋅m),$\Theta$Θ表示对以$\vec n$n为中心的整个球面积分

$\int_{m\in \Theta}D(\vec m)(\vec n\cdot\vec m)d\vec m = 1$∫m∈Θ​D(m)(n⋅m)dm=1

如果对以$\vec n$n为中心的半球进行积分使用符号$\Omega$Ω表示

在经验表明,heightfields,所有位于$\Omega$Ω外的$\vec m$m的$D(\vec m)=0$D(m)=0,但non-heightfields它是合法的

更通用的,从任何视线方向，微表面在视线垂直方向的投影都满足如下公式

$\int_{m\in\Theta}D(\vec m)(\vec v\cdot\vec m)d\vec m=\vec v\cdot\vec n$∫m∈Θ​D(m)(v⋅m)dm=v⋅n

注意$\cdot$⋅没有clamp(0,1),右侧展示了原因.

渲染时,我们只考虑可见的微表面，可见微表面的投影面积之和等于宏观表面投影面积，这里提出新的一项G项,masking function $G_1(\vec m,\vec v)$G1​(m,v)来描述微表面的法线$\vec m$m和视线$\vec v$v的可见性，此时积分项为球面的$G_1(\vec m,\vec v)D(\vec m)(\vec v\cdot\vec m)^+$G1​(m,v)D(m)(v⋅m)+：

$\int_\Theta G_1(\vec m,\vec v)D(\vec m)(\vec v\cdot\vec m)^+d\vec m=\vec v\cdot\vec m$∫Θ​G1​(m,v)D(m)(v⋅m)+dm=v⋅m

$G_1(\vec m,\vec v)D(\vec m)$G1​(m,v)D(m)时可见的normals的贡献，

Smith $G_1$G1​ function:

$G_1(\vec m,\vec v)=\frac{\chi^+(\vec m)\cdot\vec v}{1+\Lambda(\vec v)}$G1​(m,v)=1+Λ(v)χ+(m)⋅v​

$\chi^+(x)=$χ+(x)=$
\left {
\begin{array}{c}
1,where x < 0\
0,where x \leq 0
\end{array}
\right.
$

$\Lambda$Λ函数对每个NDF都不同,Smith masking目前是最好的一个G项函数，但并不是完美的，也就是还有更好的解决策略，但目前渲染器都用的它。

考虑了微表面法线的贡献后的micro-BRDF $f_\mu(\vec l,\vec v,\vec m)$fμ​(l,v,m),normal贡献$D(\vec m)$D(m),mask函数$G_1(\vec m,\vec v)$G1​(m,v)后新的微表面BRDF为:

$f(\vec l,\vec v)=\int_{m\in\Omega}f_\mu(\vec l,\vec v,\vec m)G_2(\vec l,\vec v,\vec m)D(\vec m)\frac{(\vec m\cdot\vec l)^+}{|\vec n\cdot \vec l|}\frac{(\vec m\cdot\vec v)^+}{|\vec n\cdot\vec v|}d\vec m$f(l,v)=∫m∈Ω​fμ​(l,v,m)G2​(l,v,m)D(m)∣n⋅l∣(m⋅l)+​∣n⋅v∣(m⋅v)+​dm

这里是对半球积分

这里使用joint masking-shadowing function $G_2(\vec l,\vec v,\vec m)$G2​(l,v,m)而不是用$G_1(\vec m,\vec v)$G1​(m,v),该方程式$G_1$G1​的扩展，给出了根据从view vector $\vec v$v和light vector $\vec l$l可见的normal $\vec m$m的微表面微分。使得BRDF能够masking,也能shadowing.和所有BRDFs一样，都有一个太暗的缺点。

Heitz讨论了一些$G_2$G2​的方程，最简单的是$G_2(\vec l,\vec v,\vec m)=G_1(\vec v,\vec m)G_1(\vec l,\vec m)$G2​(l,v,m)=G1​(v,m)G1​(l,m),这里假设masking和shadowing是无关联的。事实上，不是。这会导致过暗。当光线和视线方向一致时，应该有$G_1$G1​=$G_2$G2​，但是该方法仍然是$G_2=G_1^2$G2​=G12​,假定$\phi$ϕ为$\vec v ,\vec l$v,l之间的角度，$G_2(\vec l,\vec v,\vec m)$G2​(l,v,m)=$\min(G_1(\vec v,\vec m),G_1(\vec l,\vec m))$min(G1​(v,m),G1​(l,m)),这种条件下，对任何$G_1$G1​有:

$G_2(\vec l,\vec v,\vec m)=\lambda(\phi)G_1(\vec v,\vec m)G_1(\vec l,\vec m)+(1-\lambda(\phi))\min(G_1(\vec v,\vec m),G_1(\vec l,\vec m))$G2​(l,v,m)=λ(ϕ)G1​(v,m)G1​(l,m)+(1−λ(ϕ))min(G1​(v,m),G1​(l,m))
其中$\lambda(\phi)=1-e^{-7.3\phi^2} \in [0,1] \propto \phi$λ(ϕ)=1−e−7.3ϕ2∈[0,1]∝ϕ

另一个$\lambda$λ函数$\lambda(\phi)=\frac{4.41\phi}{4.41\phi+1}$λ(ϕ)=4.41ϕ+14.41ϕ​

考虑光线和视线的相关性,Smith height-correlated masking-shadowing function:

$G_2(\vec l,\vec v,\vec m)=\frac{\chi^+(\vec m\cdot\vec v)\chi^+(\vec m\cdot\vec l)}{1+\Lambda(\vec v)+\Lambda(\vec l)}$G2​(l,v,m)=1+Λ(v)+Λ(l)χ+(m⋅v)χ+(m⋅l)​

Heitz也提出了一个混合direction和height的相关性的函数:

$G_2(\vec l,\vec v,\vec m)=\frac{\chi^+(\vec m\cdot\vec v)\chi^+(\vec m\cdot\vec l)}{1+max(\Lambda(\vec v),\Lambda(\vec l))+\lambda(\vec v,\vec l)\min(\Lambda(\vec v),\Lambda(\vec l))}$G2​(l,v,m)=1+max(Λ(v),Λ(l))+λ(v,l)min(Λ(v),Λ(l))χ+(m⋅v)χ+(m⋅l)​

8 BRDF Models for Surface Reflection

specular term

这里假设微表面perfectly mooth fresnel mirror。这意味着,除非$\vec l$l平行于$\vec v$v，$f_\mu(\vec l,\vec v,\vec m) == 0$fμ​(l,v,m)==0

新增变量*half vector *$\vec h = \frac{\vec l+\vec v}{||\vec l+\vec v||}$h=∣∣l+v∣∣l+v​

对于specular微表面模型,对于所有$\vec m \neq \vec h$m̸​=h,菲涅尔项为0,

$f_{spec}(\vec l,\vec v)=\frac{F(\vec h,\vec l)G_2(\vec l,\vec v,\vec h)D(\vec h)}{4|\vec n\cdot\vec l||\vec n\cdot\vec v|}$fspec​(l,v)=4∣n⋅l∣∣n⋅v∣F(h,l)G2​(l,v,h)D(h)​

normal distribution functions(D项)

NDF

大多数渲染器用的NDF都是isotropic(各向同性),此时,NCF只是一个宏观法线$\vec n$n和微表面法线$\vec m$m之间的夹角$\theta_m$θm​的函数,理想情况下,可使用$\cos(\theta_m)$cos(θm​)简单计算。

Beckmann NDF最早被使用，它也被Cook-Torrance BRDF选用:

$D(\vec m)=\frac{\chi^+(\vec n\cdot\vec m)}{\pi \alpha_b^2(\vec n\cdot m)^4}\exp(\frac{(\vec n\cdot\vec m)^2-1}{\alpha_b^2(\vec n\cdot\vec m)^2})$D(m)=παb2​(n⋅m)4χ+(n⋅m)​exp(αb2​(n⋅m)2(n⋅m)2−1​)

其中$\chi^+(\vec n\cdot\vec m)$χ+(n⋅m)确保背面贡献为0,另外值得注意的是这里有个$\frac{1}{\pi}$π1​在完整的BRDF中可以被约掉.如所有的NDFs一样，它描述了一个heightfield微表面.$\alpha_b$αb​控制roughness,它与微表面的均方根成正比(RMS),当$\alpha_b=0$αb​=0时,微表面绝对平滑.

当将Smith $G_2$G2​函数引入Beckmann NDF，需要相应的$\Lambda$Λ函数.Beckmann NDF是shape-invariant(形状不变的),可以简化$\Lambda$Λ函数,这种NDFs形式如下:

$D(\vec m)=\frac {\chi^+(\vec n\cdot \vec m)}{alpha^2(\vec n\cdot\vec m)^4}g(\frac{\sqrt{(1-(\vec n\cdot \vec m)^2)}}{\alpha(\vec n\cdot\vec m)})$D(m)=alpha2(n⋅m)4χ+(n⋅m)​g(α(n⋅m)(1−(n⋅m)2)​​)

$g$g是任意变量函数.对于各向同性的NDF,$\Lambda$Λ依赖于两个变量:其一为roughness $\alpha$α;其二为向量($\vec v$v or $\vec l$l)的入射角。但对于shape-invariant NDF,$\Lambda$Λ函数只依赖于变量$a$a:

$a=\frac{\vec n\cdot\vec s}{\alpha\sqrt{1-(\vec n\cdot\vec s)^2}}$a=α1−(n⋅s)2​n⋅s​

其中$\vec s$s代指$\vec v$v或$\vec l$l.事实上,仅依赖于一个变量的$\Lambda$Λ实现是合适的.单变量函数更容易你和曲线,能用一维数组表示.

Beckmann NDF的$\Lambda$Λ：$\Lambda(\alpha)=\frac{erf(\alpha)-1}{2}+\frac{1}{2\alpha\sqrt(\pi)}\exp(-\alpha^2)$Λ(α)=2erf(α)−1​+2α(​π)1​exp(−α2)

其中$erf$erf为错误处理函数,所以有待评价.作为近似解决:

$\Lambda(\alpha)$Λ(α)=$\begin{cases} \frac{1-1.259\alpha+0.396\alpha^2}{3.535\alpha+2.181\alpha^2}, \alpha &lt; 1.6\\ 0,\alpha \leq 1.6\\ \end{cases}${3.535α+2.181α21−1.259α+0.396α2​,α<1.60,α≤1.6​

另一个NDF是Blinn-Phong NDF.是过去常用的,现在移动端常用，该NDF是对Phong shading model的推广.

$D(\vec m)=\chi^+(\vec n\cdot\vec m)\frac{\alpha_p+2}{2\pi}(\vec n\cdot\vec m)^{\alpha_p}$D(m)=χ+(n⋅m)2παp​+2​(n⋅m)αp​

其中the power $\alpha_p$αp​是Phong NDF中的roughness变量,越大约光滑,[0,$\infty$∞]

9 BRDF Model for Subsurface Scattering

10 BRDF Models for Cloth

11 Wave Optics BRDF Models

12 Layered Materials

13 Blending And Filtering Materials

标签：frac,G1,PBR,cdot,BRDF,RTR4,笔记,vec,theta
来源： https://blog.csdn.net/gqkly/article/details/88086865