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【学习笔记】阶与原根

作者:互联网

阶与原根

引入

根据欧拉定理,我们知道:若 \(a \perp m\),则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)。

因此,数列 \(a^1,a^2,a^3,\cdots\) 在模 \(m\) 意义下有一个 \(\varphi(m)\) 的循环节,因为 \(a^{\varphi(m)+1}\equiv a\pmod{m}\)。

然而,我们并不能保证它是最短的循环节。于是我们把这个最短循环节的长度称作为 \(a\) 在模 \(m\) 下的阶,记作 \(\delta_m(a)\)。严格地,定义 \(a\) 在模 \(m\) 下的阶是同余方程 \(a^x\equiv 1\pmod{m}\) 的最小正整数解。

显然,\(\delta_m(a)\) 一定是 \(\varphi(m)\) 的因数。特别地,当 \(\delta_m(a) = \varphi(m)\) 时,我们称 \(a\) 为模 \(m\) 下的一个原根。对于原根 \(a\) 来说,\(a^1,a^2,\cdots,a^{\varphi(m)}\) 在模 \(m\) 下各不相同,他们就是最短的循环节。

阶的性质

性质 \(1\):若 \(a^n\equiv 1\pmod{m}\),则 \(\delta_m(a)\mid n\)。

证明:考虑带余除法,设 \(n=\delta_m(a)q+r\),其中 \(0\le r <\delta_m(a)\)。

性质 \(2\):设 \(m \in\mathbf{N}\),\(a,b\in\mathbf{Z}\),\(\gcd(a,m)=\gcd(b,m)=1\),则 $$\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b)$$ 的充分必要条件是 $$\gcd(\delta_m(a),\delta_m(b))=1$$

性质 \(3\):设 \(k\in\mathbf{N}\),\(m\in\mathbf{N^*}\),\(a\in\mathbf{Z}\),\(\gcd(a,m)=1\),则 $$\delta_m(a^k)=\dfrac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)}$$

参考文献

标签:mathbf,gcd,原根,varphi,阶与,笔记,delta,equiv
来源: https://www.cnblogs.com/ReGreeBlu/p/15731446.html