目录

• 第6章 声波的辐射
  • 6.1脉动球的辐射
    • 6.1.1球面声场
    • 6.1.2声辐射与球源大小的关系
    • 6.1.3声场对脉动球源的反作用————辐射阻抗
    • 6.1.4辐射声场的性质
  • 6.2声偶极辐射
    • 6.2.1偶极辐射声场
    • 6.2.2等效辐射阻
  • 6.3同相小球源的辐射
    • 6.3.1两个同相小球源的辐射声场
    • 6.3.2指向特性
    • 6.3.3自辐射阻抗和互辐射阻抗
    • 6.3.4互易原理
    • 6.3.5镜像原理
    • 6.3.6声柱
  • 6.4点声源
  • 6.5无限大障板上圆形活塞的辐射

第6章 声波的辐射

6.1脉动球的辐射

6.1.1球面声场

半径为\(r_{0}\)的球体，表面做均匀的微小涨缩振动，即它的半径在\(r_{0}\)附近以微量\(\xi=dr\)作简谐的变化，从而在周围的媒质中辐射了声波。


由特殊形式的波动方程

\[\frac{\partial^{2} p}{\partial r^{2}}+\frac{\partial p}{\partial r} \frac{\partial \ln S}{\partial r}=\frac{1}{c_{0}^{2}} \frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}} \]

将\(S=4\pi r^{2}\)代入上式，则成为：

\[\frac{\partial^{2} p}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial p}{\partial r} =\frac{1}{c_{0}^{2}} \frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}} \]

作变量变换\(Y=pr\)
\(\frac{\partial Y}{\partial r}=\frac{\partial pr}{\partial r}=\frac{\partial p}{\partial r}r+p\\ \frac{\partial^2 Y}{\partial r^2}=\frac{\partial^2 p}{\partial r^2}r+2\frac{\partial p}{\partial r}\)
所以，方程化为

\[\frac{\partial^2 Y}{\partial r^2}=\frac{1}{c_{0}^2}\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2} \]

显然可以直接得到一般解

\[Y=Ae^{j(wt-kr)}+Be^{j(wt+kr)} \]

于是

\[p=\frac{A}{r}e^{j(wt-kr)}+\frac{B}{r}e^{j(wt+kr)} \]

我们现在讨论的是无界空间辐射的自由行波，因而没有反射波，\(B=0\)

\[p=\frac{A}{r}e^{j(wt-kr)} \]

径向质点速度

\[v_{r}=-\frac{1}{jw\rho_{0}}\frac{\partial p}{\partial r} =-\frac{A}{jw\rho_{0}}\frac{\partial \frac{e^{j(wt-kr)}}{r}}{\partial r} =-\frac{A}{jw\rho_{0}}(-\frac{1}{r^2}-\frac{jk}{r})e^{j(wt-kr)}\\ =\frac{Ajk}{jw\rho_{0}r}(1+\frac{1}{jkr})e^{j(wt-kr)}=\frac{A}{r\rho_{0}c_{0}}(1+\frac{1}{jkr})e^{j(wt-kr)}\]

A待定常数，取决于边界条件，也就是球面振动的情况。

6.1.2声辐射与球源大小的关系

设球源表面的振动速度为

\[u=u_{a}e^{j(wt-kr_{0})} \]

\[(v_{r})_{r=r_{0}}=u \]

于是

\[\frac{A}{r_{0}\rho_{0}c_{0}}(1+\frac{1}{jkr_{0}})=u_{a} \]

\[A=(u_{a}r_{0}\rho_{0}c_{0}jkr_{0})/(1+jkr_{0})=\frac{u_{a}r_{0}\rho_{0}c_{0}jkr_{0}(1-jkr_{0})}{1+(kr_{0})^2}\\ =\frac{\rho_{0}c_{0}kr_{0}^2}{1+(kr_{0})^2}u_{a}(kr_{0}+j)=|A|e^{j\theta}\]

其中\(|A|=\frac{\rho_{0}c_{0}kr_{0}^2}{\sqrt{1+(kr_{0})^2}}u_{a}\quad \theta=arctan(\frac{1}{kr_{0}})\)
于是

\[p=\frac{|A|}{r}e^{j(wt-kr+\theta)}=p_{a}e^{j(wt-kr+\theta)} \]

\[v_{r}=-\frac{1}{jw\rho_{0}}\frac{\partial p}{\partial r}=\frac{p_{a}}{\rho_{0}c_{0}kr}(kr-j)e^{j(wt-kr+\theta)}=v_{ra}e^{j(wt-kr+\theta+\theta^{\prime})} \]

式中\(v_{ra}=p_{a}\frac{\sqrt{1+(kr)^2}}{\rho_{0}c_{0}kr}\quad \theta^{\prime}=arctan(\frac{-1}{kr})\)

在离脉动球源距离r的地方，声压幅值的大小就取决于|A|值
|A|值不仅与球源的振速\(u_{a}\)有关，还与辐射声波的频率或波长、球源的半径等有关
当\(kr_{0}\leq 1\)球源半径比较小或者声波频率比较低的脉动球源称为点源

\[|A|_{L}\approx\rho_{0}c_{0}kr_{0}^{2}u_{a} \]

相反\(kr_{0}\geq 1\)

\[|A|_{H}\approx\rho_{0}c_{0}r_{0}u_{a} \]

显然

\[|A|_{L}\leq|A|_{H} \]

说明在以同样大小的速度\(u_{a}\)振动时，如果球源比较小或者频率比较低，则辐射声压较小。
因此，大小一定时，频率越低则辐射声压越小。
例如，弦乐器如果没有助声膜或板，而仅有一根弦振动，那么所发出的声音是很微弱的。一般来说振动面越大低频声越丰富。

6.1.3声场对脉动球源的反作用————辐射阻抗

辐射阻抗——描述声源的声辐射特性
脉动球源在媒质中振动时，使媒质发生了稀密交替的形变，从而辐射了声波；
另一方面，声源本身也处于由它自己辐射形成的声场之中，因此它必然受到声场对它的反作用，这个反作用力等于：

\[F_{r}=-S_{0}p_{r=r_{0}} \]

负号表示这个力的方向与声压的变化方向相反

\[F_{r}=-S_{0}\frac{\rho_{0}c_{0}kr_{0}^2u_{a}}{r\sqrt{1+(kr_{0})^2}}e^{j(wt-kr+\theta)} \]

回忆：

\[u=u_{a}e^{j(wt-kr_{0})}\\ e^{j\theta}=(kr_{0}+j)/\sqrt{1+(kr)^2}\]

\[F_{r}=(-\rho_{0}c_{0}\frac{k^2r_{0}^2}{1+k^2r_{0}^2}S_{0}-j\rho_{0}c_{0}\frac{k^2r_{0}^2}{1+kr_{0}}S_{0})u \]

如果令

\[\left.\begin{array}{l} R_{r}=\rho_{0} c_{0} \frac{k^{2} r_{0}^{2}}{1+k^{2} r_{0}^{2}} S_{0}, \\ X_{r}=\rho_{0} c_{0} \frac{k r_{0}}{1+k^{2} r_{0}^{2}} S_{0}, \\ Z_{r}=R_{r}+j X_{r}, \end{array}\right\}\]

辐射阻，辐射抗，辐射阻抗

\[F_{r}=-Z_{r}u \]

现来讨论一下当考虑到声场的反作用力\(F_{r}\)以后，球源表面作为一个力学系统的运动情况。
设球源振动表面的质量\(M_{m}\)，力学系统的弹性系数\(R_{m}\)，受到的摩擦力阻\(R_{m}\),策动其振动的外力为\(F=F_{a}e^{j(wt-kr_{0})}\),声场的反作用力上面已求得\(F_{r}\)
因此振动表面的运动方程

\[M_{m}\frac{du}{dt}=F+F_{r}-R_{m}u-K_{m}\int udt \]

\[M_{m}\frac{du}{dt}+R_{m}u+K_{m}\int udt+Z_{r}u=F \]

因为u是时间t的简谐函数，求解上式得

\[u=\frac{F}{Z_{m}+Z_{r}} \]

其中

\[Z_{m}+Z_{r}=(R_{m}+R_{r})+j(X_{r}+wM_{m}-\frac{K_{m}}{w}) \]

由于考虑到声场对声源的反作用，对声源振动系统来讲，相当于在原来的力学振动系统上附加了一个力阻抗\(Z_{r}\)，这种由于声辐射引起的附加力学系统的力阻抗就称为辐射力阻抗，简称辐射阻抗

改写

\[Z_{m}+Z_{r}=(R_{m}+R_{r})+j[w(M_{m}+\frac{X_{r}}{w})-\frac{K_{m}}{w}] \]

1.增加了辐射阻\(R_{r}\)，反映了力学系统有着能量损耗，是转化为声能
2.增加了辐射质量\(M_{r}=\frac{X_{r}}{w}\),好像声源加重了，称同振质量，\(M_{m}+M_{r}\)称有效质量

脉动球源的平均辐射声功率

\[\overline{W}_{r}=\frac{1}{2}R_{r}u_{a}^{2} \]

由此可见，如果声源振速恒定，那么平均辐射声功率仅取决于辐射阻

对于脉动球源，如果\(kr_{0}\leq 1\)
\(R_{r}\approx \rho_{0}c_{0}(kr_{0})^2S_{0}\)因而平均辐射声功率与频率的平方成正比，且是很小的。
至于同振质量\(M_{r}\approx \rho_{0}r_{0}S_{0}=\rho_{0}r_{0} 4\pi r_{0}^{2}=3(\frac{4}{3}\pi r_{0}^{3}\rho_{0})=3M_{0}\)这相当于球源排开的同体积媒质质量的3倍，所以为了使球源表面振动，尚需要克服这一部分附加惯性力而做功，但这部分能量不是向外辐射的声能，而是贮藏在系统中。

如果\(kr_{0}\geq 1\)
\(R_{r}\approx \rho_{0}r_{0}S_{0}\)
\(X_{r}\approx 0\)
说明球圆半径较大或者频率较高时，球源的辐射阻达到最大值，而辐射抗为零，即同振质量为零

由以上讨论可见，声源平均辐射声功率的大小取决于kr_{0}，即声源尺寸与声波波长的相对大小。

6.1.4辐射声场的性质

脉动球源在空间辐射的声压

\[p=\frac{|A|}{r}e^{j(wt-kr+\theta)} \]

这是在自由声场（不存在反射波）的情况下导得的，也常常用来作为自由声场的考核，要满足该规律：声压随距离呈反比变化。
可以求得当距离改变\(dr\)时，声压幅值的变化为

\[dp_{a}=-\frac{|A|}{r^2} \]

或写成\(\frac{dp_{a}}{p_{a}}=-\frac{1}{r}dr\)

这里的符号表示声压变化的方向与距离变化的方向相反。即声压随距离增加衰减
1.当r足够大时，以至\(\frac{dr}{r}\leq1\)时，\(\frac{dp_{a}}{p_{a}}\approx 0\)这说明球面波在r足够大的地方，声压幅值的变化已很缓慢，声压幅值近似为常数。就这个意义讲，球面波特性已近似于平面波了。也可以理解为，波阵面很大，所以局部范围看球已经可以近似为平面了。

下面讨论球面声场中的能量关系，

\[I=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Re(p)Re(v_{r})dt \]

\[I=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}p_{a}cos(wt-kr+\theta)p_{a}\frac{\sqrt{1+(kr)^2}}{\rho_{0}c_{0}kr}cos(wt-kr+\theta+\theta^{\prime})dt\\ =p_{a}^{2}\frac{\sqrt{1+(kr)^2}}{\rho_{0}c_{0}kr}\frac{cos\theta^{\prime}}{2}\]

因为\(cos\theta^{\prime}=\frac{kr}{\sqrt{1+(kr)^2}}\)，故得：

\[I=\frac{p_{a}^{2}}{2\rho_{0}c_{0}}=\frac{p_{e}^{2}}{\rho_{0}c_{0}} \]

这里\(p_{e}=\frac{p_{a}}{\sqrt{2}}\)为有效声压

可见，在球面声场中，声强与声压幅值或有效声压之间的关系形式上仍与平面声场一样
但因为现在这一项与r成反比，因而声强不再处处相等，而是随距离r的平方反比

平均声功率

\[\overline{W}=4\pi r^{2}I=4\pi r^{2}\frac{p_{e}^{2}}{\rho_{0}c_{0}}=\frac{2\pi}{\rho_{0}c_{0}}r^2p_{a}^2=\frac{2\pi}{\rho_{0}c_{0}}|A|^2 \]

可见在任何距离的球面上其平均能量流都是与距离无关的常数，这显然是符合能量守恒定律的

相等
因为声场中的能量来自声源，因此声源每秒钟内辐射的平均声能量必然等于声场中的平均声能量流。
正是因为如此，就使人们可以通过对声场的测量来确定声源的平均辐射声功率。例如，对于球面声场，我们只需要在某一径向距离上，用测试传声器测得该位置的有效声压

6.2声偶极辐射

声偶极子：两个相距很近，并以相同的振幅为相位相反的小脉动球源（点源\(kr_{0}\leq 1\)）所组成的声源。

6.2.1偶极辐射声场

\[p=\frac{A}{r_{+}}e^{j(wt-kr_{+})}-\frac{A}{r_{-}}e^{j(wt-kr_{-})} \]

振幅部分近似\(r_{+}=r_{-}=r\)
相位差异\(r_{+}\approx r+\frac{l}{2}cos\theta\\r_{-}\approx r-\frac{l}{2}cos\theta\)
代入
\(p\approx \frac{A}{r}e^{j(wt-kr)}(e^{j\frac{klcos\theta}{2}}-e^{-j\frac{klcos\theta}{2}})=\frac{A}{r}e^{j(wt-kr)}(-2jsin\frac{klcos\theta}{2})\)
当频率不是很高，两个小球相距很近，认为\(kl<1\)
上式可化简为

\[p\approx -j\frac{klA}{r}cos\theta e^{j(wt-kr)} \]

可见，偶极辐射声场在离声源较远处的声压也随距离成反比地减小
但与脉动球源辐射声场有一个很重要的区别，偶极辐射与\(\theta\)有关，即在声场中同一距离，不同方向的位置上声压不一样。

为了描述声源辐射随方向而异的这种特性，我们定义任意\(\theta\)方向的声压幅值与\(\theta=0°\)轴上的声压幅值之比为该声源的辐射指向性：

\[D(\theta)=\frac{(p_{a})_{\theta}}{(p_{a})_{\theta=0}} \]

对于偶极声源，其指向特性为\(D(\theta)=|cos\theta|\)，在极坐标图上是\(\infty\)字形
得径向质点速度为

\[v_{r}\approx -\frac{1}{jw\rho_{0}}\frac{\partial p}{\partial r} =\frac{klAcos\theta}{w\rho_{0}}\frac{\partial e^{j(wt-kr)}/r}{\partial r} =\frac{klA}{w\rho_{0}}(\frac{1}{r^2}+\frac{jk}{r})cos\theta e^{j(wt-kr)}\\ =j\frac{k^2lA}{wr\rho_{0}}(1+\frac{1}{jkr})cos\theta e^{j(wt-kr)}\\ =j\frac{klA}{\rho_{0}c_{0}r}(1+\frac{1}{jkr})cos\theta e^{j(wt-kr)}\]

6.2.2等效辐射阻

如果我们把偶极声源看作是一个振速为\(u_{a}\)，辐射阻为\(R_{r}^{\prime}\)的等效脉动球源
那么它的平均辐射声功率为

\[\overline{W}=\frac{1}{2}R_{r}^{\prime}u_{a}^{2} \]

而实际已经求得为（6-2-10）,所以

\[\frac{1}{2}R_{r}^{\prime}u_{a}^{2}=\frac{2}{3}\pi\rho_{0}c_{0}k^4r_{0}^4l^2u_{a}^2 \]

由此求得偶极声源在\(kl<1\)情况下的等效辐射阻为

\[R_{r}^{\prime}=\frac{4}{3}\pi \rho_{0}c_{0}k^4r_{0}^{4}l^2 \]

由此可见，偶极声源辐射阻与\(w^4\)成正比
而在\((kr_{0})^2<1\)情况下求得\(R_{r}\approx \rho_{0}c_{0}(kr_{0})^2S_{0}\)与\(w^2\)成正比
事实上，\(\frac{R_{r}^{\prime}}{R_{r}}=\frac{k^2l^2}{3}<1\)
这就是说，在低频时，偶极声源的辐射本领比小脉动球源要差得多
这是很自然的，因为组成偶极声源的两个小球源的振动相位相反，其中一个小球源的周围呈压缩相时，另一个呈稀疏相，而且这两个不同相位的区域又靠得很近，在低频时振动进行得如此缓慢，以至压缩去的媒质质点来得及流向稀疏区，从而抵消了压缩和稀疏形变，这样总的声辐射就减弱了。

如将扬声器安装在很大的障板上，使扬声器前、后方的辐射隔开，那么低频辐射本领就会提高，这个经验告诉我们，如果把一只纸盆扬声器装进收音机盒子中，就会发现低频以至总音量增强了，这就是因为盒子起到了把纸盆前后媒质隔开的作用。

6.3同相小球源的辐射

现在我们讨论同相小脉动球源的组合辐射，它是构成声柱和声阵辐射的最基本模型。

6.3.1两个同相小球源的辐射声场

\[p=\frac{A}{r_{1}}e^{j(wt-kr_{1})}+\frac{A}{r_{2}}e^{j(wt-kr_{2})} \]

忽略振幅差别，保留相位差异。
如果取两小球源连线的法线为\(\theta=0°\)那么由图可见有如下近似关系
\(r_{1}\approx r-\Delta\)
\(r_{2}\approx r+\Delta\)
其中\(\Delta=\frac{l}{2}sin\theta\)为两个小球源到观察点的声程差的一半

\[p=\frac{A}{r}e^{j(wt-kr)}[e^{-jk\Delta}+e^{jk\Delta}]=\frac{A}{r}e^{j(wt-kr)} 2cosk\Delta \]

改写

\[p=\frac{A}{r}e^{j(wt-kr)}\frac{sin2k\Delta}{sink\Delta} \]

可见，两个同相小球源组合辐射时，远场的声压也随距离反比衰减，呈现指向性

6.3.2指向特性

\[D(\theta)=\frac{(p_{a})_{\theta}}{(p_{a})_{\theta=0}}=|\frac{sin2k\Delta}{2sink\Delta}| \]

可见，指向特性同声程差与波长的比值有关

1.当\(k\Delta=m\pi\)
\(\Delta=\frac{l}{2}sin\theta\)，即\(lsin\theta=m\frac{2\pi}{k}=m\lambda\quad(m=0,1,2,...)\)

\[D(\theta)=1 \]

这就是说，在某些方向上,即\(\theta=arcsin\frac{m\lambda}{l}(m=0,1,2,...)\)，从两个小球源传来的声波，其声程差恰为波长的整数倍，因此在这些位置上振动为同相，合成声压的幅值为极大值
其中，\(\theta=0°\)方向的极大值称为主极大值，其余的称为副极大值。

在\(0~\frac{\pi}{2}\)之间出现的副极大值的个数恰好等于比值\(\frac{l}{\lambda}\)的整数部分

由于副极大方向和主极大方向的声能量是相等的，这种能量的分散在实用中常常是不希望的，如果要使第一个副极大值不出现，那就必须使振源间的距离小于声波波长。

2.\(2k\Delta=m^{\prime}\pi\)
即\(lsin\theta=m^{\prime}\frac{\lambda}{2}\quad (m^{\prime}=1,3,5,...)\)时

\[D(\theta)=0 \]

也就是说，在某些方向上\(\theta=arcsin\frac{m^{\prime}\lambda}{2l}\)，从两个小球源传来的声波，其声程差恰为半波长的奇数倍，因此在这些位置上两声压反相位，相互抵消，结果合成声压为零。

我们把第一次出现零辐射的角度定义为主声束角度宽度（张角）的一半，所以主声束的角宽度为

\[\overline{\theta}=2arcsin\frac{\lambda}{2l} \]

对于一定的频率\(l\)越小，\(\overline{\theta}\)越大，主声束越宽
当\(l<\frac{\lambda}{2}\)时，\(\theta\)无解，这时不出现辐射为零值的方向。

3.当\(kl<1\)时
因为\(k\Delta=k\frac{l}{2}sin\theta\)，所以必然有

\[k\Delta<<1 \]

因此得

\[D(\theta)=1 \]

说明当两个小球源靠得很近时，辐射无指向性。
事实上

\[p=\frac{A}{r}e^{j(wt-kr)}2cosk\Delta\approx \frac{2A}{r}e^{j(wt-kr)} \]

这表明当两个小球源靠得很近，组合声源已经相当于一个幅值加倍的脉动球辐射了，既然是脉动球，自然无辐射指向性。

通过上述讨论，可见，抑制副极大和减小主声束角宽度是互相矛盾的，

如\(l<\lambda\)时固然可以不出现副极大，但主声束比较宽，不小于60°

两个同相位小球源相距\(l=\frac{\lambda}{2},\lambda,\frac{3}{2}\lambda,2\lambda\)时指向性

6.3.3自辐射阻抗和互辐射阻抗

以小球源I为例，设由它辐射的声场作用在它自身表面上的力为\(F_{11}\)，由小球源II辐射的声场作用在它表面上的力为\(F_{12}\)
于是合成声场作用在小球源I表面上的合力\(F_{1}\)为

\[F_{1}=F_{11}+F_{12} \]

即声场对小球源I的作用力\(F_{1}\),就相当于在它的振动系统上附加了一项辐射阻抗

\[Z_{1}-\frac{-F_{1}}{u_{1}}=Z_{11}+Z_{12} \]

自辐射阻抗（自阻抗）、互阻抗

这里\(r_{10}\)为小球源I的半径，\(S_{1}\)为它的表面积。

现在来计算第二项\(Z_{12}=\frac{-F_{12}}{u_{1}}\)
因为小球源线度很小，对声波的散射作用很微弱，所以声源I放在声源II产生的声场中，对声场的干扰可以忽略不计，近似地认为小球I表面所受的声压和该点的自由声场声压相等。
考虑到\(kr_{20}<<1\)，可得到小球II的辐射声场在小球I表面处的声压为

\[p_{12}=j\frac{k\rho_{0}c_{0}u_{2a}}{l}r_{20}^{2}e^{j(wt-kl)} \]

因此它作用在小球I表面上的力为

\[F_{12}=-p_{12}S_{1}=-j\frac{k\rho_{0}c_{0}u_{2a}}{l}r_{20}^{2}S_{1}e^{j(wt-kl)} \]

即可求得互阻抗

\[Z_{12}=\frac{F_{12}}{u_{1}}=\frac{k\rho_{0}c_{0}S_{1}r_{20}^{2}}{l}\frac{u_{2a}}{u_{1a}}(sinkl+jcoskl) \]

可见互阻抗与两个小球源的表面积，它们之间的距离以及它们振速的相对大小都有关系

对最简单的情况：两个小球源振动完全相同
\(r_{10}=r_{20}=r_{0}\quad S_{1}=S_{2}=S_{0}\quad u_{1a}=u_{2a}=u_{a}\)
可化简为

\[\left.\begin{array}{l} Z_{12}=R_{12}+\mathrm{j} X_{12}, \\ R_{12}=\rho_{0} c_{0} S_{0}\left(k r_{0}\right)^{2} \frac{\sin k l}{k l}, \\ X_{12}=\rho_{0} c_{0} S_{0}\left(k r_{0}\right)^{2} \frac{\cos k l}{k l} . \end{array}\right\}\]

于是，小球源I的总辐射阻抗为

\[\left.\begin{array}{l} Z_{1}=R_{1}+\mathrm{j} X_{1}, \\ R_{1}=R_{11}\left(1+\frac{\sin k l}{k l}\right), \\ X_{1}=X_{11}\left(1+k r_{0} \frac{\cos k l}{k l}\right) . \end{array}\right\}\]

说明，由于两个小球源的相互作用，使小球源I除了具有自阻抗\(Z_{11}\)一外，还增加了一项互阻抗，这一增加的互阻抗随两个球源间距离的增大而起伏变化。

互阻抗的阻部分反应了小球源I辐射能量的变化。
当正弦函数为正值时，互阻为正，表是小球II对小球I的影响表现为“阻力”
这时小球源I除了要克服自身声场的“阻力”以外，还要克服小球源II对它的“阻力”，结果辐射阻增加，从而辐射声功率增加

互阻抗的抗部分反应了小球源I的同振质量的变化。
当余弦函数为正时，小球源II的声场对小球源I的影响表现为惯性的作用，这是小球源I的同振质量增加

这种组合声源与单个小脉动球源的辐射阻、辐射抗之比\(\frac{R_{1}}{R_{11}}\)和\(\frac{X_{1}}{X_{11}}\)随\(\frac{l}{\lambda}\)的变化

最后，我们来定量地讨论一下这种组合声源中每个小球源的平均辐射声功率

\[\overline{W}_{1}=\frac{1}{2} R_{1} u_{a}^{2}=\frac{1}{2} \rho_{0} c_{0} S_{0}\left(k r_{0}\right)^{2}\left(1+\frac{\sin k l}{k l}\right) u_{a}^{2} . \]

随两小球间距离与波长的比值而起伏变化

如果\(kl<<1\)这时\(\frac{sinkl}{kl}\rightarrow 1\)

\[\overline{W}_{1}=\frac{1}{2} R_{1} u_{a}^{2}= \rho_{0} c_{0} S_{0}\left(k r_{0}\right)^{2}u_{a}^{2} . \]

可以看出，这等于小球源单独存在是以同样振速振动所辐射声功率的2倍

所以当两个小球源组合在一起辐射时，低频辐射功率为每个小球源单独存在的4倍
这与前面导得的\(kl<<1\)时合成声场

所具有的能量是相等的。

当两个小球间的距离比波长大，以至\(kl>>1\)，\(\frac{sinkl}{kl}\rightarrow 0\)

\[\overline{W}_{1}=\frac{1}{2} R_{1} u_{a}^{2}=\frac{1}{2} \rho_{0} c_{0} S_{0}\left(k r_{0}\right)^{2}u_{a}^{2} . \]

这已相当于小球源单独存在时的辐射功率，也就是说，当两个小球间距离较远或者频率较高时，两个小球间的影响已经小得可以忽略。

6.3.4互易原理

\[F_{21}=-\_{21}S_{2}=XXXu_{1} \]

\[\frac{F_{21}}{u_{1}}=\frac{F_{12}}{u_{2}} \]

这就是声场互易原理的一种表示形式

我们可以将它改写成声学上常见的形式，也就是将声源的振速u换成体积速度\(U=uS\),把作用在球源表面上的力F换成球表面附近的声压\(p=\frac{F}{S}\)
那么

\[\frac{p_{21}}{U_{1}}=\frac{p_{12}}{U_{2}} \]

也就是说,小球源I作为声源时，在小球II的位置上产生的声压与小球源I体积速度之比
等于小球I的位置上产生的声压与小球源II体积速度之比

定义J球面声场互易参量

\[\frac{1}{J}=|\frac{p_{12}}{U_{2}}|=|\frac{jk\rho_{0}c_{0}u_{2}r_{20}^2}{l4\pi r_{20}^{2}u_{2}}|=|\frac{jk\rho_{0}c_{0}}{l4\pi}|=\frac{\rho_{0}}{2l}\frac{kc_{0}}{2\pi}=\frac{\rho_{0}f}{2l} \]

6.3.5镜像原理

作为前面讨论的组合声源的例子，我们讨论无限大刚性壁面前一个小球源的辐射声场。
设离刚性壁面\(\frac{l}{2}\)处有一个小脉动球源，
显然空间中任意位置P点的声压包含着两部分：
一是从小球源I直接到达该观察点的声波
另一是从球源I出发，经过边界面反射以后再达到该观察点的

我们知道，现在情况下求解声场，实际上就是要求出既满足波动方程，又符合在刚性平面分界面上法向振速恒为0这个边界条件的解。

我们设：在分界面的另一侧，与小球源相对称的位置上，存在着一个设想的小球源II，它的振动情况与I完全一样，组合声源声压

\[p=\frac{A}{r_{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\omega t-b_{1}\right)}+\frac{A}{r_{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\omega t-k_{2}\right)} \]

上式满足波动方程是显然的，
再由于对称性的原因，由小球源I,II发出的声波到达边界面上任意一点时，径向质点速度沿边界面法向的分量都大小相等、方向相反，因为法向合成速度为零，也就是满足刚性平面边界条件。
根据波动方程解的唯一性，可以确信上式就是现在问题的唯一正确解。

由此可见，对于刚性壁面前一个小球源的辐射声场，可以看作该小球源以及一个在对称位置上的“虚源”（即镜像）所产生的合成声场

镜像原理：刚性壁面对声源的影响等效于一个虚声源的作用

从上面的讨论可以看出，当一个声源靠近刚性壁面时，由于壁面的影响，使辐射情况与在自由空间的情况是不一样的，按镜像原理，相当于它本身以及一个虚声源组成的组合声源的辐射，因为一般具有指向性，低频时辐射功率也会增加。

当边界绝对软时，镜像原理也成立，不过这时虚声源的相位与真实声源相位相反。

6.3.6声柱

为了得到所希望的指向性
下面讨论直线性声柱，并把其中每一个小扬声器单元都看作是小脉动球源

设n个体积速度相等、相位相同的小脉动球源均匀分布在一条直线上，小球源间距l，声柱总长度\(L=（n-1）l\)
把每个小球源的辐射声压叠加

\[p=\sum_{i=1}^{n}\frac{A}{r_{i}}e^{j(wt-kr_{i})} \]

相位部分

\[r_{2}=r_{1}+lsin\theta\\ r_{3}=r_{2}+lsin\theta\\ ...\\ r_{n}=r_{1}+(n-1)lsin\theta\]

如果记\(\Delta=\frac{l}{2}sin\theta\)

\[\begin{aligned} p &=\frac{A}{r} \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\omega t-b_{1}\right)}\left[1+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 k \Delta}+\cdots+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 k(n-1) \Delta}\right] \\ &=\frac{A}{r} \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\omega t-b_{1}\right)} \frac{\left(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 k n \Delta}\right)}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 k \Delta}} \\ &=\frac{A}{r} \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left[\omega t-k_{1}-k(n-1) \Delta\right]} \cdot \frac{\sin k n \Delta}{\sin k \Delta} \\ &=\frac{A}{r} \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t-k)} \cdot \frac{\sin k n \Delta}{\sin k \Delta} . \end{aligned}\]

\[(p)_{\theta=0}=n \frac{A}{r} \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t-b)} \]

所以声柱的指向性

\[D(\theta)=\frac{\left(p_{A}\right)_{\theta}}{\left(p_{A}\right)_{\theta=0}}=\left|\frac{\sin k n \Delta}{n \sin k \Delta}\right| \]

由此可见，指向特性同声程差与波长的比值以及小球的个数有关
1.

3.当\(kn\Delta=(2m^{''}+1)\frac{\pi}{2}\)
即\(\frac{w}{c_{0}}n\frac{l}{2}sin\theta=(2m^{''}+1)\frac{\pi}{2}\)
所以

\[lsin\theta=\frac{(2m^{''}+1)}{2n}\frac{2\pi c_{0}}{w}=\frac{(2m^{''}+1)}{2n}\lambda\quad (m^{''}=1,2,...) \]

分子数值为1，在这些方向上式声压也出现极大值，但它们的数值比主极大值小，故称为次级大
靠近主极大的第一个次级大是次级大值中的最大者，它的位置由下式决定

\[lsin\theta=\frac{3\lambda}{2n} \]

第一次极大与主极大的比值

\[D_{1}=\frac{1}{|nsin\frac{3\pi}{2n}|} \]

n较大时可近似为

\[D_{1}\approx \frac{2}{3\pi} \]

这就是说，对直线声柱，主极大值和次级大值最多相差13.5dB

6.4点声源

6.5无限大障板上圆形活塞的辐射

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