方向导数与梯度
作者：互联网
1 全导数概念引入
全导数是多元函数中的一个概念。
我们知道一元函数的情况下，导数就是函数的变化率，从几何意义上看就是：
但是在多元的情况下比一元的复杂，下面用二元函数来举例，例如这样一个曲面上的一个点
A
A
A：
在曲面上可以做无数条过
A
A
A点的曲线（这里随便画了三根）：
每根曲线都可能可以（也有做不出来的情况，其实一元的时候也有做不出切线的情况）做一根切线，比如（这里随便挑了一条蓝色的曲线来画，都画出来太乱了）：
全导数的意义：每一根切线都和一个全导数”相关“， A A A点有无数个全导数。
最精简的回答已经回答完了，接下来我们讲一些细节，主要阐述下面两个细节：
- 方向导数、偏导数是特殊的全导数
- 每一根切线都和一个全导数”相关“
顺便说下，如果所有这些切线共面的话，那么这个平面就是切平面（全微分） 待补充
2 参数方程
为了继续介绍，我们需要引入参数方程的知识。
2.1 通过参数方程来描述所有的曲线
首先，我们随便画一条过
A
A
A点的曲线：
这条曲线也是一个关于
x
,
y
x,y
x,y的函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)，因此它与
x
y
xy
xy平面上的曲线具有一一对应的关系：
因此我们只需要描述
x
y
xy
xy上的曲线就可以达到描述曲面的曲线的目的，这时候就很自然的可以使用参数方程了。
举个具体的例子，对于
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
f(x,y)=x^2+y^2
f(x,y)=x2+y2这个二元函数，函数图像是这样的：
注意此时的
x
,
y
x,y
x,y都可以自由改变：
但是如果增加参数方程：
{
z
=
x
2
+
y
2
x
=
t
y
=
t
\begin{cases}z=x^2+y^2\\x=t\\y=t\end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧z=x2+y2x=ty=t
这时 x , y x,y x,y的变化就受到 { x = t y = t \begin{cases}x=t\\y=t\end{cases} {x=ty=t的约束：
我们来把这个参数方程决定的直线放入三维空间：
这条直线可以决定一根曲面上的曲线：
这个曲面上的曲线就是刚才说过的：
{
z
=
x
2
+
y
2
x
=
t
y
=
t
\begin{cases}z=x^2+y^2\\x=t\\y=t\end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧z=x2+y2x=ty=t
2.2 参数方程可以拍扁三维图像
从另外一个角度来，参数方程可以把三维的图像拍扁，下面解释了这个过程，还是以
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
f(x,y)=x^2+y^2
f(x,y)=x2+y2这个二元函数：
增加参数方程约束：
{
z
=
x
2
+
y
2
x
=
t
y
=
t
\begin{cases}z=x^2+y^2\\x=t\\y=t\end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧z=x2+y2x=ty=t
把
x
,
y
x,y
x,y代入到
z
z
z里面，可以得到
z
=
2
t
2
z=2t^2
z=2t2：
这就好比把
x
y
z
xyz
xyz空间的立体图形拍扁到了
z
t
zt
zt平面，这个特性在后面会使用，这里先进行介绍。
3 偏导数、方向导数、全导数
3.1 偏导数
偏导数指
x
y
xy
xy平面中平行于
x
x
x轴或
y
y
y轴的直线所决定的曲线：
这条曲线的方程也可以写成参数方程（以平行于
x
x
x轴的曲线为例，
a
a
a为常数）：
{
z
=
f
(
x
,
y
)
x
=
t
y
=
a
+
0
×
t
\begin{cases}z=f(x,y)\\x=t\\y=a+0\times t\end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧z=f(x,y)x=ty=a+0×t
偏导数就是这根曲线的切线的斜率：
3.2 方向导数
在一元函数中，方向可以区分为”左“和”右“，因此一元函数中存在左可导、右可导的概念：
在多元函数中，以某个点为中心，360度均为方向，因此用上面的二元函数的例子，在
x
y
xy
xy平面中取一个射线，这就指明了一个特定的方向：
1 方向导数
顾名思义，方向导数就是某个方向上的导数。
什么是方向：
粉色对应于函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)，其值在上面的方向下对应值如下所示：
我们知道：
函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)的
A
A
A点在这个方向上同样存在切线，其切线的斜率就是方向导数：
标签：方程,导数,切线,梯度,曲线,xy,方向,cases 来源： https://blog.csdn.net/kking_edc/article/details/121169627