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[复习笔记]WQS二分

作者:互联网

〇、前言 ¶

  天天被打爆......很久之前学过 \(\mathrm{wqs}\) 二分,现在又忘记了......考试凭感觉打......还是总结一篇好了。

壹、知识桥 ¶

引入:有若干个物品,要求你选出 \(m\) 个,选的时候带有限制,要你求出最优的方案。

  一般解决这一类问题,我们十分常用的技巧是 \(\mathrm{DP}\),不过,在某些限制条件或者数据范围较为严格的时候,\(\mathrm{DP}\) 因为其本身并不具备比较特殊的性质而难以优化,这个时候,\(\mathrm{wqs}\) 二分就应运而生了。

  \(\mathrm{wqs}\) 二分有一个十分重要的前提:设 \(g(i)\) 为选择 \(i\) 个物品的最优方案,若将 \((i,g(i))\) 画出来,那么这些点在平面上必须构成凸包,其本质是需要满足斜率的单调性。此时,我们的目的就是求出 \(g(m)\),而 \(\mathrm{wqs}\) 二分的主要算法流程是:

  该过程,用一图以蔽之,即:

  当我们得到的切点横坐标为 $m$ 时,其纵坐标即为答案。现在的问题是,对于一个斜率 $k$,如何求 $y=kx+C$ 与凸包的切点?事实上,与凸包相切、斜率为 $k$ 的直线 $l$ 一定是所有与凸包相交,且斜率为 $k$ 的直线中,截距最大的一条直线,也即,我们想要找到一个点 $x$,使得 $f(x)=g(x)-kx$ 即直线 $l$ 截距最大。

  现在似乎无法进一步分析了,但我们可以考察 \(f(x)\) 的含义 —— 选 \(x\) 个物品,每个物品价值减去 \(k\) 之后的最大价值和。由于 \(x\) 为任意数值,因此我们在选的物品数量上并没有任何限制,这在 \(\mathrm{DP}\) 层面,本质就是去掉了限制物品数量的一个维度,替换为了一个 \(\log\) 的二分斜率的时间。

  这看上去确实很厉害,不过,仍然要重申一遍使用该方法的前提条件:\((i,g(i))\) 具有凸性,而凸性的证明我们可以从几个方面入手:

  还可能有更多的方法,具体情况具体分析咯。另外,还有两个比较细节的地方,一是关于斜率的调整,应当结合图像的上凸或者下凸调整左右边界,二是应当考察一条直线的情形。

贰、典例营 ¶

[APIO/CTSC2007]数据备份

  设计朴素状态 \(f(i,j,0/1)\) 表示前 \(i\) 个建筑,选了 \(j\) 对,最后一个建筑是否被选择,于是可以得到比较简单的转移。

  不难发现,如果我们固定 \(i=n\),并 \(g(j)\overset\Delta=\min(f(n,j,0),f(n,j,1))\),那么 \((j,g(j))\) 显然是下凸的,具体可以考察其增量,每次肯定都是贪心选择较小的,到了后面单次增量将会逐渐增大,于是我们就可以对其使用 \(\mathrm{wqs}\) 二分。

\(\mathcal{Submission\;Link}\).

[CF958E2]Guard Duty(medium)

  注意到 \(2k\le n\),那么,我们每次选择 \(t\) 相邻的肯定最好,设 \(t'\) 为 \(t\) 排序后的结果,记 \(a_i=t'_{i + 1} - t'_i\),那么,原题目就转化为了,从 \(a\) 中选择 \(k\) 个,这 \(k\) 个中没有两个相邻(这意味着相交在端点)的最小值,这和上一个题很相似了,同理可做。

\(\mathcal{Submission\;Link}\).

[CF739E]Gosha is hunting

  朴素 \(\mathrm{DP}\) 显然是 \(f(n,i,j)\) 表示考虑到第 \(n\) 只,用了 \(i\) 个 \(a\) 球,\(j\) 个 \(b\) 球之后抓住宝贝的期望值,于是分为三种转移:

  不难发现,固定 \(n,i\),将 \((j,f(n,i,j))\) 画到坐标系上,它一定是斜率单调不升的,原因很简单,优先选择概率更大的,再选择概率较小的,于是,我们可以分离出 \(j\) 这一维度,使用 \(\mathrm{wqs}\) 二分来解决。

  同样地,我们也可以类似地分离出 \(i\) 这一维度,于是这个题就是两重 \(\mathrm{wqs}\) 套起来,显然斜率的变化范围在 \([0,1]\),我们只需要在这个区间中进行二分即可,当然,若你初始边界设在 \((-\infty,+\infty)\),实际上也没啥问题,不过多了一些没有必要的过程而已。

标签:二分,复习,wqs,WQS,凸包,斜率,DP,mathrm
来源: https://www.cnblogs.com/Arextre/p/15426915.html