[复习笔记]WQS二分

〇、前言 ¶

  天天被打爆......很久之前学过 \(\mathrm{wqs}\) 二分，现在又忘记了......考试凭感觉打......还是总结一篇好了。

壹、知识桥 ¶

引入：有若干个物品，要求你选出 \(m\) 个，选的时候带有限制，要你求出最优的方案。

  一般解决这一类问题，我们十分常用的技巧是 \(\mathrm{DP}\)，不过，在某些限制条件或者数据范围较为严格的时候，\(\mathrm{DP}\) 因为其本身并不具备比较特殊的性质而难以优化，这个时候，\(\mathrm{wqs}\) 二分就应运而生了。

  \(\mathrm{wqs}\) 二分有一个十分重要的前提：设 \(g(i)\) 为选择 \(i\) 个物品的最优方案，若将 \((i,g(i))\) 画出来，那么这些点在平面上必须构成凸包，其本质是需要满足斜率的单调性。此时，我们的目的就是求出 \(g(m)\)，而 \(\mathrm{wqs}\) 二分的主要算法流程是：

• 二分一个斜率 \(k\)；
• 求出直线 \(y=kx+C\)（其中 \(C\) 为一常数）与 \((i,g(i))\) 凸包的切点；
• 根据切点与 \((m,g(m))\) 的关系，对斜率进行调整；
• 反复执行上述三步；

  该过程，用一图以蔽之，即：

  当我们得到的切点横坐标为 $m$ 时，其纵坐标即为答案。现在的问题是，对于一个斜率 $k$，如何求 $y=kx+C$ 与凸包的切点？事实上，与凸包相切、斜率为 $k$ 的直线 $l$ 一定是所有与凸包相交，且斜率为 $k$ 的直线中，截距最大的一条直线，也即，我们想要找到一个点 $x$，使得 $f(x)=g(x)-kx$ 即直线 $l$ 截距最大。

  现在似乎无法进一步分析了，但我们可以考察 \(f(x)\) 的含义 —— 选 \(x\) 个物品，每个物品价值减去 \(k\) 之后的最大价值和。由于 \(x\) 为任意数值，因此我们在选的物品数量上并没有任何限制，这在 \(\mathrm{DP}\) 层面，本质就是去掉了限制物品数量的一个维度，替换为了一个 \(\log\) 的二分斜率的时间。

  这看上去确实很厉害，不过，仍然要重申一遍使用该方法的前提条件：\((i,g(i))\) 具有凸性，而凸性的证明我们可以从几个方面入手：

• 斜率具有单调性；
• \(\forall i,f(i)>\frac{f(i-1)+f(i+1)}{2}\)；
• 从 \(\mathrm{DP}\) 的一些基本性质或含义上入手；
• ......；

  还可能有更多的方法，具体情况具体分析咯。另外，还有两个比较细节的地方，一是关于斜率的调整，应当结合图像的上凸或者下凸调整左右边界，二是应当考察一条直线的情形。

贰、典例营 ¶

[APIO/CTSC2007]数据备份

  设计朴素状态 \(f(i,j,0/1)\) 表示前 \(i\) 个建筑，选了 \(j\) 对，最后一个建筑是否被选择，于是可以得到比较简单的转移。

  不难发现，如果我们固定 \(i=n\)，并 \(g(j)\overset\Delta=\min(f(n,j,0),f(n,j,1))\)，那么 \((j,g(j))\) 显然是下凸的，具体可以考察其增量，每次肯定都是贪心选择较小的，到了后面单次增量将会逐渐增大，于是我们就可以对其使用 \(\mathrm{wqs}\) 二分。

\(\mathcal{Submission\;Link}\).

[CF958E2]Guard Duty(medium)

  注意到 \(2k\le n\)，那么，我们每次选择 \(t\) 相邻的肯定最好，设 \(t'\) 为 \(t\) 排序后的结果，记 \(a_i=t'_{i + 1} - t'_i\)，那么，原题目就转化为了，从 \(a\) 中选择 \(k\) 个，这 \(k\) 个中没有两个相邻（这意味着相交在端点）的最小值，这和上一个题很相似了，同理可做。

\(\mathcal{Submission\;Link}\).

[CF739E]Gosha is hunting

  朴素 \(\mathrm{DP}\) 显然是 \(f(n,i,j)\) 表示考虑到第 \(n\) 只，用了 \(i\) 个 \(a\) 球，\(j\) 个 \(b\) 球之后抓住宝贝的期望值，于是分为三种转移：

• 啥都没使用，\(f(n,i,j)\gets f(n-1,i,j)\)；
• 用了 \(a\) 球，\(f(n,i,j)\gets f(n-1,i-1,j)+p_i\)；
• 用了 \(b\) 球，\(f(n,i,j)\gets f(n-1,i,j-1)+u_i\)；
• 两种都用了，\(f(n,i,j)\gets f(n-1,i-1,j-1)+1-(1-p_i)(1-u_i)\)；

  不难发现，固定 \(n,i\)，将 \((j,f(n,i,j))\) 画到坐标系上，它一定是斜率单调不升的，原因很简单，优先选择概率更大的，再选择概率较小的，于是，我们可以分离出 \(j\) 这一维度，使用 \(\mathrm{wqs}\) 二分来解决。

  同样地，我们也可以类似地分离出 \(i\) 这一维度，于是这个题就是两重 \(\mathrm{wqs}\) 套起来，显然斜率的变化范围在 \([0,1]\)，我们只需要在这个区间中进行二分即可，当然，若你初始边界设在 \((-\infty,+\infty)\)，实际上也没啥问题，不过多了一些没有必要的过程而已。

标签：二分,复习,wqs,WQS,凸包,斜率,DP,mathrm
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