微积分(A)随缘一题[3]

试举出定义在 \((-\infty, +\infty)\) 上的函数 \(f(x)\)，要求：\(f(x)\) 仅在 \(0,1,2\) 三点处连续，其余点都是 \(f(x)\) 的第一类间断点

实际上这种函数是不存在的，若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处左右极限都存在，则在 \(x_0\) 处的左右邻域分别连续（其上不存在间断点）

试举出定义在 \((-\infty, +\infty)\) 上的函数 \(f(x)\)，要求：\(f(x)\) 仅在 \(0,1,2\) 三点处连续，其余点都是 \(f(x)\) 的第二类间断点

设 \(f(x)=\begin{cases}-\left||x-1|-\frac{1}{2}\right| & \quad (x \in \mathbb{Q}) \\ \left||x-1|-\frac{1}{2}\right| & \quad (x \in \mathbb{R}/\mathbb{Q})\end{cases}\)

当然，也可以是：\(f(x)=\begin{cases}-x(x-1)(x-2) & \quad (x \in \mathbb{Q}) \\ x(x-1)(x-2) & \quad (x \in \mathbb{R}/\mathbb{Q})\end{cases}\)

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