工程矩阵理论（持续更新）
作者：互联网
此笔记基于B站周建华老师的网课录屏以及唐向东老师现场授课的内容。
推荐教材
- 工程矩阵理论（第2版） 张明淳 编著
- 杨明，刘先忠，矩阵论，华中科技大学出版社
- 刘丁酉，矩阵分析，武汉大学出版社
- 刘慧，袁文燕，姜冬青，矩阵论及应用，化学工业出版社
- 北京大学出版社，高等代数，高等教育出版社
学习内容
线性空间与线性变换
内积空间与等距变换
矩阵的相似标准型
Hermite二次型
范数理论、矩阵函数
矩阵的逆、广义逆
广义逆的应用：最小二乘解
用三角多项式逼近连续函数
矩阵的相似对角化与矩阵的计算
矩阵的特殊分解介绍
第0章 复习与引申
这里省略了唐老师对于本科线性代数教材知识的复习，有需要可以翻看以前的教材中行列式计算相关的部分。
行列式
- 行列互换值不变
- 提取k
- 对换两行（两列），行列式反号（本质上讲还是因为逆序数奇偶性发生了改变）
- 若行列式有两行或两列相同，该行列式为零
- 行列式可以拆开：
- 行列式某行（列）的倍数加到另一行（列），该行列式不变
- 余子式和代数余子式（用来行列式展开）
※ 展开的时候乘以的是另一行（列）的代数余子式，则值为0
理解： 相当于把那一行的元素换到了乘以代数余子式的那一行，必然会导致行列式为0 - k阶子式与其余子式
※ 可以理解为一阶余子式的扩展，被用来方便证明行列式的分块计算原理
矩阵运算
矩阵的乘法中应注意的问题
- 存在非零零因子（即AB=0，而A和B均不为0矩阵）
典型的例子：
- 不可交换
可以证明：如果A与任意n阶方阵可交换，则A是数量矩阵。 - 乘法消去律不成立
- 一些代数恒等式对矩阵不再成立
若可交换，则代数恒等式对矩阵也成立；若A可逆，则消去律（消去A）也成立。
分块矩阵的乘法规则
- A，B均按行进行分块
- A按列分块，B不分块
- 将A视作一块，B按列分块
- 将相关矩阵分成四块
例：证明：上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵
线性方程组
非齐次线性方程组
齐次线性方程组
高斯消元法
求矩阵特解和通解的方法： 满足秩以外的叫自由向量，自由向量都取0用来求特解，轮流取1用来求通解（其他的自由变量要取0）。（满足秩的意思即极大无关组）
※ 这里周老师补充了一个定义：H代表共轭转置矩阵。
向量组的极大无关组及秩
矩阵的秩及等价标准形
- 矩阵的秩
补充定义： 幂等矩阵即平方等于自身的矩阵。 - 矩阵的等价标准形
满秩分解（重要）
步骤：
- 求极大线性无关组（行变换化成行最简形矩阵）
- 将其余向量用极大线性无关组线性表示
- 拼成两个同秩矩阵相乘
个人理解： 拆分为极大线性无关组和另一个矩阵的乘积即可。
- 一个例子：
其实与极大线性无关组相乘的那个矩阵并不用求，只要行最简形化对了，C就是蓝色框框里的那部分。
第1章 线性空间与线性变换
第2章 内积空间与等距变换
第3章 矩阵的相似标准形
第4章 Hermite二次型
第5章 范数及矩阵函数
第6章 矩阵的广义逆
标签：工程,分块,矩阵,更新,行列式,线性,代数,余子式 来源： https://www.cnblogs.com/Severus-Cavendish/p/15418663.html