可测函数列的几乎一致收敛于几乎处处收敛

定义1： 设 f ( x ) , f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯   , f k ( x ) , ⋯ f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdots f(x),f1​(x),f2​(x),⋯,fk​(x),⋯是定义在点集 E E E上的实值函数。若对于任意 ε > 0 \varepsilon > 0 ε>0，存在 K ∈ N K \in \mathbb{N} K∈N，使得对于任意 k ≥ K k \ge K k≥K，任意 x ∈ E x \in E x∈E，有 ∣ f k ( x ) − f ( x ) ∣ < ε , |f_k(x)-f(x)|<\varepsilon, ∣fk​(x)−f(x)∣<ε,则称 { f k ( x ) } \{f_k(x)\} {fk​(x)}在 E E E上一致收敛到 f f f，记作 f k ⟹ f f_k \Longrightarrow f fk​⟹f或 f k ⟶ u f f_k \stackrel{\mathrm{u}}{\longrightarrow}f fk​⟶u​f（其中 u \mathrm{u} u表示一致）。

定义2： 若 E E E是可测集，若 ∀ δ > 0 \forall \delta > 0 ∀δ>0， ∃ E δ ⊂ E \exists E_{\delta} \sub E ∃Eδ​⊂E，使得 m ( E \ E δ ) < δ m(E\backslash E_{\delta})< \delta m(E\Eδ​)<δ，在 E δ E_{\delta} Eδ​上 f k ⟹ f f_k \Longrightarrow f fk​⟹f，则称 { f k ( x ) } \{f_{k}(x)\} {fk​(x)}在 E E E上几乎一致收敛到 f f f，记作 f k ⟶ a . u . f f_k \stackrel{\mathrm{a.u.}}{\longrightarrow}f fk​⟶a.u.​f（其中 a . u . \mathrm{a.u.} a.u.表示几乎一致）。

定义3： 设 f ( x ) , f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯   , f k ( x ) , ⋯ f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdots f(x),f1​(x),f2​(x),⋯,fk​(x),⋯是定义在点集 E ⊂ R n E \sub \mathbb{R}^n E⊂Rn上的广义实值函数。若存在 E E E中点集 Z Z Z，有 m ( Z ) = 0 m(Z)=0 m(Z)=0，及对每个元素 x ∈ E \ Z x \in E \backslash Z x∈E\Z，有 lim ⁡ k → ∞ f k ( x ) = f ( x ) \lim\limits_{k \rightarrow \infty}f_k(x)=f(x) k→∞lim​fk​(x)=f(x)，则称 { f k ( x ) } \{f_k(x)\} {fk​(x)}在 E E E上几乎处处收敛于 f ( x ) f(x) f(x)，并简记为 f k → f f_k \rightarrow f fk​→f， a . e . [ E ] \mathrm{a.e.}[E] a.e.[E]或 f k ⟶ a . e . f f_k \stackrel{\mathrm{a.e.}}{\longrightarrow} f fk​⟶a.e.​f。

定理1（叶戈罗夫定理）： 设 f ( x ) , f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯   , f k ( x ) , ⋯ f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdots f(x),f1​(x),f2​(x),⋯,fk​(x),⋯是可测集 E E E上 几乎处处有限的可测集，并且 m ( E ) < ∞ m(E)< \infty m(E)<∞，若 f k ⟶ f f_k \longrightarrow f fk​⟶f， a . e . [ E ] \mathrm{a.e.}[E] a.e.[E]，则 { f k ( x ) } \{f_k(x)\} {fk​(x)}几乎一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)。

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