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【笔记】信号与线性系统

作者：互联网

本文为信号与线性系统上课笔记。

文章目录

1. 信号与系统

1.2 信号

信号自变量变换

信号的特性

基本常用信号

冲激函数及其性质

1.3 系统

时间系统基本单元

输入输出方程

系统性质

2. 信号与系统的时域分析

2.1 连续LTI卷积

信号的时域分解

卷积

f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infin}^{\infin}{f_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau} f1​(t)∗f2​(t)=∫−∞∞​f1​(τ)f2​(t−τ)dτ

y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ 0 t x ( τ ) h ( t − τ ) d τ y(t)=x(t)*h(t)=\int_{0}^{t}{x(\tau)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau} y(t)=x(t)∗h(t)=∫0t​x(τ)h(t−τ)dτ

图解卷积

卷积性质

2.2 连续LTI单位冲激响应

冲激响应：系统对单位冲激信号的零状态响应

微分方程描述

单位冲激响应求解

y ( t ) = y 1 ( t ) y(t)=y_1(t) y(t)=y1​(t)（齐次方程通解） + y 2 ( t ) +y_2(t) +y2​(t)（非齐次方程特解）

2.3 离散LTI卷积

卷积和

图解法

性质

2.4 离散LTI单位脉冲响应

差分方程描述

∑ k = 0 N a k y ( n + k ) = ∑ k = 0 M b k x ( n + k ) \sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n+k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n+k)} k=0∑N​ak​y(n+k)=k=0∑M​bk​x(n+k)

差分方程阶数：差分方程的阶定义为响应最大移序与最小移序之差

单位脉冲响应求解

2.4 系统性质分析

2.5 离散LTI系统方框图

∑ k = 0 N a k y ( n − k ) = ∑ k = 0 M b k x ( n − k ) \sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n-k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n-k)} k=0∑N​ak​y(n−k)=k=0∑M​bk​x(n−k)

2.6 连续LTI系统方框图

∑ k = 0 N a k y ( N − k ) ( t ) = ∑ k = 0 M b k x ( N − k ) ( t ) \sum\limits_{k=0}^{N}{a_k y^{(N-k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_k x^{(N-k)}(t)} k=0∑N​ak​y(N−k)(t)=k=0∑M​bk​x(N−k)(t)

w ( n ) = ∑ k = 0 M b k x ( N − k ) ( t ) w(n)=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx^{(N-k)}}(t) w(n)=k=0∑M​bk​x(N−k)(t)

y ( n ) = 1 a N [ w ( n ) − ∑ k = 1 N − 1 a k y ( N − k ) ( t ) ] y(n)=\frac{1}{a_N}\left[w(n)-\sum\limits_{k=1}^{N-1}{a_ky^{(N-k)}(t)}\right] y(n)=aN​1​[w(n)−k=1∑N−1​ak​y(N−k)(t)]

3 连续时间信号与系统的频域分析

3.1 信号分解

复指数信号 x ( t ) = e s t x(t)=e^{st} x(t)=est

3.2 周期信号傅立叶级数

x ( t ) = x ( x + T 0 ) x(t)=x(x+T_0) x(t)=x(x+T0​)

周期信号 e j Ω 0 t e^{j\Omega_0t} ejΩ0​t：基波周期 T 0 = 2 π Ω 0 T_0=\frac{2\pi}{\Omega_0} T0​=Ω0​2π​，基波频率 Ω 0 = 2 π T 0 \Omega_0=\frac{2\pi}{T_0} Ω0​=T0​2π​

x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ A k ˙ e j k Ω 0 t x(t)=\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\dot{A_k}e^{jk\Omega_0t}} x(t)=k=−∞∑∞​Ak​˙​ejkΩ0​t

A k ˙ \dot{A_k} Ak​˙​ 为傅立叶系数， k = ± N k=\pm N k=±N 称为 N N N 次谐波分量

A k ˙ = 1 T 0 ∫ 0 T 0 x ( t ) e − j k Ω 0 t d t \dot{A_k}=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)e^{-jk\Omega_0t}\mathrm{d}t} Ak​˙​=T0​1​∫0T0​​x(t)e−jkΩ0​tdt

性质

3.3 傅立叶变换

频谱

所有谐波分量的复振幅随频率的分布称为信号的频谱

非周期信号傅立叶变换

傅立叶变换 X ( Ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j Ω t d t X(\Omega)=\int_{-\infin}^{+\infin}{x(t)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t} X(Ω)=∫−∞+∞​x(t)e−jΩtdt （ X ( Ω ) X(\Omega) X(Ω) 为频谱密度函数，简称频谱）

傅立叶反变换 x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( Ω ) e j Ω t d Ω x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}{X(\Omega)e^{j\Omega t}\mathrm{d}\Omega} x(t)=2π1​∫−∞∞​X(Ω)ejΩtdΩ

常用傅立叶变换

周期信号傅立叶变换

x ( t ) ↔ 2 π ∑ n = − ∞ ∞ A n ˙ δ ( Ω − n Ω 0 ) x(t)\leftrightarrow 2\pi \sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{\dot{A_n}\delta(\Omega-n\Omega_0)} x(t)↔2πn=−∞∑∞​An​˙​δ(Ω−nΩ0​)

3.4 傅立叶变换性质

3.5 连续时间系统频域分析

理想低通滤波器

调制与解调

连续信号的时域抽样

4 连续时间信号与系统的频域分析

4.1 信号分解

4.2 离散时间周期信号傅立叶级数

x ( n ) = x ( n + N ) x(n)=x(n+N) x(n)=x(n+N)

周期信号 e j 2 π N n e^{j\frac{2\pi}{N}n} ejN2π​n

成谐波关系的复指数信号集 ϕ k ( n ) = { e j 2 π N k n } , ϕ k ( n ) = ϕ k + N ( n ) , k = 0 , ± 1 , ⋯ \phi_k(n)=\left\{e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\right\},\phi_k(n)=\phi_{k+N}(n),k=0,\pm1,\cdots ϕk​(n)={ejN2π​kn},ϕk​(n)=ϕk+N​(n),k=0,±1,⋯

x ( n ) = ∑ k = < N > A k ˙ e j 2 π N k n x(n)=\sum\limits_{k=<N>}^{}{\dot{A_k}e^{j\frac{2\pi}{N}kn}} x(n)=k=<N>∑​Ak​˙​ejN2π​kn

A k ˙ = 1 N ∑ n = < N > x ( n ) e − j 2 π N k n \dot{A_k}=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=<N>}{x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}} Ak​˙​=N1​n=<N>∑​x(n)e−jN2π​kn

4.3 傅立叶变换

非周期信号傅立叶变换

ω = 2 π N k \omega=\frac{2\pi}{N}k ω=N2π​k

X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega})=\sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{x(n)e^{-j\omega n}} X(ejω)=n=−∞∑∞​x(n)e−jωn

x ( n ) = 1 2 π ∫ 2 π X ( e j ω ) e j ω n d ω x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}{X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega} x(n)=2π1​∫2π​X(ejω)ejωndω

常用序列傅立叶变换

周期信号傅立叶变换

X ( e j ω ) = 2 π ∑ k = − ∞ ∞ A k ˙ δ ( ω − 2 π N k ) X(e^{j\omega})=2\pi\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\dot{A_k}\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{N}k\right)} X(ejω)=2πk=−∞∑∞​Ak​˙​δ(ω−N2π​k)

4.4 傅立叶变换性质

4.5 离散时间系统频域分析

∑ k = 0 N a k y ( n − k ) = ∑ k = 0 M b k x ( n − k ) \sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n-k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n-k)} k=0∑N​ak​y(n−k)=k=0∑M​bk​x(n−k)

两边同时傅立叶变换 ∑ k = 0 N a k e − j ω k Y ( e j ω ) = ∑ k = 0 M b k e − j ω k X ( e j ω ) \sum\limits_{k=0}^{N}{a_ke^{-j\omega k}Y(e^{j\omega})}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ke^{-j\omega k}X(e^{j\omega})} k=0∑N​ak​e−jωkY(ejω)=k=0∑M​bk​e−jωkX(ejω)

∑ k = 0 M b k e − j ω k \sum\limits_{k=0}^{M}{b_ke^{-j\omega k}} k=0∑M​bk​e−jωk

4.6 离散傅里叶变换

X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N k n X(k)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{x(n)W_N^{kn}} X(k)=n=0∑N−1​x(n)WNkn​， W N = e − j 2 π N W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}} WN​=e−jN2π​

性质

5. 拉普拉斯变换

x ( t ) = e s t x(t)=e^{st} x(t)=est

y ( t ) = e s t ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) e − s t d τ = H ( s ) e s t y(t)=e^{st}\int_{-\infin}^{\infin}{h(\tau)e^{-st}\mathrm{d}\tau}=H(s)e^{st} y(t)=est∫−∞∞​h(τ)e−stdτ=H(s)est

5.1 收敛域

将 σ \sigma σ 允许的取值范围称为 x ( t ) x(t) x(t) 拉普拉斯变换的收敛域

5.2 常用拉普拉斯变换

5.3 双边拉普拉斯变换性质

5.4 拉普拉斯反变换

x ( t ) = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ X ( s ) e s t d s x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infin}^{\sigma+j\infin}{X(s)e^{st}\mathrm{d}s} x(t)=2πj1​∫σ−j∞σ+j∞​X(s)estds

X ( s ) = N ( s ) D ( s ) = b m s m + ⋯ + b 1 s + b 0 s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 X(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{b_ms^m+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0} X(s)=D(s)N(s)​=sn+an−1​sn−1+⋯+a1​s+a0​bm​sm+⋯+b1​s+b0​​

5.5 连续时间系统复频域分析方法

∑ k = 0 N a k s k Y ( s ) = ∑ k = 0 M b k s k X ( s ) \sum\limits_{k=0}^{N}{a_ks^kY(s)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ks^kX(s)} k=0∑N​ak​skY(s)=k=0∑M​bk​skX(s)

H ( s ) = ∑ k = 0 M b k s k ∑ k = 0 N a k s k = b M a N ∏ k = 1 M ( s − z k ) ∏ k = 1 N ( s − p k ) H(s)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ks^k}}{\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ks^k}}=\frac{b_M}{a_N}\frac{\prod\limits_{k=1}^{M}{(s-z_k)}}{\prod\limits_{k=1}^{N}{(s-p_k)}} H(s)=k=0∑N​ak​skk=0∑M​bk​sk​=aN​bM​​k=1∏N​(s−pk​)k=1∏M​(s−zk​)​， z k z_k zk​ 为零点， p k p_k pk​ 为极点

因果且稳定的 LTI 系统，系统函数的收敛域一定包含虚轴，且系统函数的全部极点一定位于 S S S 平面的左半平面

5.6 单边拉普拉斯变换

X ( s ) = ∫ 0 ∞ x ( t ) e − s t d t \mathscr{X}(s)=\int_{0}^{\infin}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t} X(s)=∫0∞​x(t)e−stdt

存在冲激函数及其导数时， X ( s ) = ∫ 0 − ∞ x ( t ) e − s t d t \mathscr{X}(s)=\int_{0^-}^{\infin}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t} X(s)=∫0−∞​x(t)e−stdt

反变换 x ( t ) u ( t ) = [ 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ X ( s ) e s t d t ] u ( t ) x(t)u(t)=\left[\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infin}^{\sigma+j\infin}{X(s)e^{st}\mathrm{d}t} \right]u(t) x(t)u(t)=[2πj1​∫σ−j∞σ+j∞​X(s)estdt]u(t)

性质

6. Z \mathscr{Z} Z变换

x ( n ) = z n x(n)=z^n x(n)=zn

y ( n ) = z n ∑ k = − ∞ ∞ h ( k ) z − k = z n H ( z ) y(n)=z^n\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{h(k)z^{-k}}=z^nH(z) y(n)=znk=−∞∑∞​h(k)z−k=znH(z)

6.1 Z \mathscr{Z} Z变换

6.2 常用 Z \mathscr{Z} Z变换

6.3 双边 Z \mathscr{Z} Z变换常用性质

6.4 Z \mathscr{Z} Z反变换

x ( n ) = 1 2 π j ∮ C X ( z ) z n − 1 d z x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}{X(z)z^{n-1}\mathrm{d}z} x(n)=2πj1​∮C​X(z)zn−1dz， C C C 是在收敛域内包围z平面原点的闭合积分路线

幂级数展开法

X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n , z = r e j ω X(z)=\sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{x(n)z^{-n}},z=re^{j\omega} X(z)=n=−∞∑∞​x(n)z−n,z=rejω

X ( z ) = N ( z ) D ( z ) = ⋯ + x ( − 1 ) z + x ( 0 ) + x ( 1 ) z − 1 + x ( 2 ) z − 2 + ⋯ + x ( n ) z − n + ⋯ X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\cdots+x(-1)z+x(0)+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+\cdots+x(n)z^{-n}+\cdots X(z)=D(z)N(z)​=⋯+x(−1)z+x(0)+x(1)z−1+x(2)z−2+⋯+x(n)z−n+⋯

展开方法(长除法)：对右边的序列按 z z z 的降幂的顺序排列；对左边的序列按 z z z 的升幂的顺序排列

部分式展开法

6.5 离散时间LTI的 Z \mathscr{Z} Z域分析方法

∑ k = 0 n a k y ( n − k ) = ∑ k = 0 m b k x ( n − k ) \sum\limits_{k=0}^{n}{a_ky(n-k)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx(n-k)} k=0∑n​ak​y(n−k)=k=0∑m​bk​x(n−k)， H ( z ) = ∑ k = 0 M b k z − k ∑ k = 0 N a k z − k H(z)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kz^{-k}}}{\sum\limits_{k=0}^{N}{a_kz^{-k}}} H(z)=k=0∑N​ak​z−kk=0∑M​bk​z−k​

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来源： https://blog.csdn.net/qq_39678161/article/details/119908583