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动力系统笔记4

作者:互联网

动力系统的一个重要问题是证明或者证否周期轨道的存在,我们特别讨论\(\mathbb{R}^2\)上的动力系统。

证明周期轨道的存在:Poincare-Bendixson定理

对于\(\mathbb{R}^2\)上一个动力系统中的点\(x\),它的向前轨道是

\[\gamma_r(x) = \Phi(t, x), t > 0 \]

它的\(+\)极限集为

\[\omega_+(x) = \lim_{t\to\infty} \Phi(t, x) \]

对于轨道和极限集,我们有Poincare-Bendixson定理:如果\(\gamma_+(x)\)是\(\mathbb{R}^2\)中的紧连通集,且仅包含有限个不动点,则\(\omega_+(x)\)是以下三者之一:

我们分情形证明:假设\(\omega_+(x)\)只包含不动点,不包含正则点,我们就得到情形1。

为了证明情形2,我们假设\(\omega_+(x)\)不包含不动点。取\(y \in \omega_+(x)\)以及\(z \in \omega_+(y)\)。由于\(z\)不是不动点,存在横截弧\(\Sigma\)以及\(y_n \in \Sigma \bigcap \gamma_+(y)\)满足\(y_n \to z\)。由于横截弧与极限集至多相交于一点,所以\(y_n = z\),因而\(\omega_+(x)\)是正则周期轨道。

假设\(\omega_+(x)\)既包含不动点,又包含正则点。设\(y \in \omega_+(x)\)是正则点,我们取\(z \in \omega_+(y)\)。如果它是正则点,由情形2我们知道\(\gamma_+(y) = \omega_+(x)\)是正则周期轨道,与\(\omega_+(x)\)包含不动点矛盾,所以\(z\)一定是不动点。

证否周期轨道的存在:Dulac准则

假设存在\(C^1\)函数\(g\)使得\(\nabla \cdot (g \dot{x})\)在单连通区域\(U \subset \mathbb{R}^2\)中不改变符号且不恒为0,那么\(U\)中没有周期轨道。

证明非常简单:假设\(C\)是一条周期轨道,\(A\)是轨道包含连通区域,那么根据高斯定理

\[0 < \iint_A \nabla \cdot (g \dot{x}) dA = \int_C g \dot{x}\cdot nds = 0 \]

其中\(n\)是与\(\dot{x}\)垂直的向量,因此矛盾。

标签:包含,轨道,动力系统,笔记,正则,_+,不动点,omega
来源: https://www.cnblogs.com/euler57721/p/15147968.html