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【学习笔记】MOOC 数学文化赏析 笔记【补档】

作者:互联网

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临时学习整理,欢迎各位大佬留言补充~(比如数集、幻方等部分比较贫瘠= =)

一. 笔记

1)各种知识点
  1. 数学关注本质、共性、规律和联系

  2. 结构:

    代数结构:“合作”,运算 & 运算规律。解决计算问题

    顺序结构:对比,大小、先后、隶属。解决比较问题

    拓扑结构:亲疏 & 规模大小的距离。解决度量问题

  3. 数学从结论(公理)出发,采用逻辑演绎(三段论)的方法,推出新结论(公式,定理)

  4. 公理不能相互矛盾(相容性,和谐),不能相互包容(独立性,简洁)。做不到完备性

  5. 数学结论只承认演绎推理。合情推理找方向演绎推理定结论。演绎推理所得结论必须是新的、有意义的。

  6. 思考方法

    分类研究:按属性分类,逐一研究。化整为零,积零为整

    类比方法:通过一个个体,认识到另一个个体

    归纳方法:通过一个群体中的若干个体,认识整个群体。通过个性发现共性

    化归方法:把问题进行变化、转换成某个已解决或较易解决的问题去研究。

  7. 特点:概念的抽象性、推理的严密性、结论的确定性、应用的广泛性。

  8. 地位:基础性、普适性、可靠性

  9. 功能:实用、教育、语言、文化

  10. 历史:

    初等数学(常量数学)&& 古代数学:17世纪以前的数学

    变量数学:17 - 19世纪;笛卡尔建立解析几何(起点);牛顿 & 莱布尼兹建立微积分(标志

    近代数学:19世纪的数学,三大特点:分析严密化、代数抽象化、几何非欧化

    四次以上方程没有根式解

    现代数学:20世纪的数学,一大基础,三大趋势,六大特征

  11. 几何:发源(欧几里得几何),划时代发展(坐标几何),(射影几何),(向量几何),(非欧几何),(微分几何)

  12. 发散性思维:归纳、类比、关联、辐射、迁移、空间想象等

    收敛性思维:可靠的推理方法,有有限穷举法、数学归纳法、反证法等

  13. 任意 n 边形的外角和都是 360 度

  14. 对称性:轴对称、中心对称(旋转或反射不变)、旋转对称(旋转一定角度不变)

  15. 不动点定理:地球点无风、地图地面一致、指纹

  16. 任何凸n边形的外角和都是360度。

    平面上 f - e + v = 1 (区域数f,线段数 e,顶点数 v)

    空间上 f - e + v = 2(欧拉定理)

  17. 随机现象的单个出现无规律,但大量出现就呈稳定的规律性

  18. 黄金分割:黄金矩形、黄金三角形、斐波那契数列

  19. 多边形填补:正三角形,正方形,正六边形

  20. 鸽笼

    367人存在同日生日

    105人存在同性别、生日同星期

    聚会,两个人的在场朋友数一样多

2)数集

可数集:自然数、有理数、代数数
代数数:整系数代数多项式的根,其中有理数是整系数一次多项式的根
康托定理:对任意集合M,总有 |P(M)| > |M|,也就是P(M)和M不能建立一一对应关系
实数集和自然数集的幂集可以建立一一对应的关系
无理数、超越数、全体实数、区间中的实数、直线上的点、平面上的点、n维空间中的点都是与实数一一对应的,有 阿列夫0 个

  1. 有理数有限小数 or 无限循环小数

    最小的数域,任一数域必须包含有理数集。

    数轴上稠密,所占长度为0

    可数,和自然数一样多。

  2. 可数集:可以排成一列,或可以一个个数下去的无限集合

    一个可数集合,并入无数个可数集后,还是可数集。

  3. 实数集

    连续,在数轴上没有缝隙

    不可数

  4. 代数集

    可数

  5. 超越数:构成实数集不可数的原因。

    刘维尔数:最早,L = 0.11000100000…

    Pi,e,光速,万有引力常数等

3)几何
  1. 欧几里得几何

    五条公设:第五,一直线与两直线相交,且同侧所交两内角和小于180度,则两直线无限延长后必然交于一点

  2. 非欧几何:黎曼几何 && 罗巴切夫斯基几何,对比:见课本p157
    - 罗:小于180,面积角欠反比,平行线距离大,不存在矩形和相似形
    - 黎:大于180,面积角余正比,平行线距离小,不存在矩形和相似性
    - 总结:罗小,角欠反比,大,不存在;黎大,角余正比,小,不存在

    重大意义:解决了平行公理的独立性问题,预示了相对论的产生

4)幻方
  1. 幻方:行列对角线和都相等。

    标准幻方:各数都是1 ~ n^2 的连续自然数,幻和为:n(n^2 + 1)/2

    奇数阶幻方:

    偶数阶幻方:双偶阶幻方(阶为4的倍数),单偶阶幻方

    双重幻方/平方幻方:各数换成平方后还是幻方

    乘积幻方/和积幻方:幻方的行列对角线积也相等

    存在性:2阶不存在,3阶1种,4阶880种…

  2. 幻方构造

    一般偶数阶中心对称变换:1 ~ 16 从上到下,从左到右填上。双对角线不变,其他中心对称变换

    奇数阶的杨辉构造法:九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺进

    奇数阶的劳伯尔构造法:顶中为1,右上加,出则循,有则原下

    已知构未知:每个元素都加、乘同一个正整数;或者每行、每列、每条对角线上各选一个加上一个正整数;或两个幻方进行加or减

  3. 悖论:不可避免,可以解决

    三次数学危机:无理数的发现、微积分的诞生(无穷小量)、康托的集合论

5)难题、猜想与定理
  1. 三大作图难题不可能用尺规作图实现

    化圆为方、倍立方体、三等分任意角

  2. 费马大定理:方程 x^n + y^n = z^n (n >= 3 ) 没有正整数解。20世纪怀尔斯证明

  3. 哥德巴赫猜想:还未证明

  4. 四色猜想:机器证明

  5. 庞加莱猜想:已经证明

  6. 拓扑学:流形。判断相同,关键在于结构:如果可通过拉伸、压缩等方式变化成另一个流形,则被认为本质一样

  7. 黎曼猜想未证明

  8. 七桥问题,对应一笔画定理:一笔画充要条件是 图连通,奇点个数为0或2;

    2时一奇点为起点,另一为终点;0时任一顶点都是起点and终点
    可以考察一笔画图形构造,整明白奇点和一笔画定理就行。举例:五角星

二. 典中典题目:

  1. 将斐波那契数列的每一项被8除得到的余数作为一个新数列,则这个新数列一定是一个循环(周期)数列。

    正确,为:1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0为一组.12个数为一组。由 [x] = [x - 1] + [x - 2] =》[x] % n =( [x - 1] % n + [x - 2] % n) % n 得出

  2. 派对中一定有两个人的共同朋友数一样。

    鸽笼原理。设派对 n 个人,那么共同朋友取值范围 [1, n - 1] 一共 n - 1 个选项。那么肯定至少两个人朋友数一样

  3. 扑克牌,分4叠,抽余数,放到下一叠。求第四叠的余数

    其实就是余数转移,最后变成求原总点数的余数即可。

  4. 取石子

    情况一:一次拿1~2颗,最后取完者为胜

    1)一堆:留3的倍数为胜利。(后手,每次保证和前一次构成3)

    2)两堆:留下两堆石子数除以3所得余数相同。(化归,当一堆取完后(余数0),另一堆也余数0,也就是3的倍数,成情况1)

    3)任意堆:除3所得余数相同的石子堆成对出现即可。(化归成1 && 2)

    情况二:一次一堆中任意颗。

    1)一堆:一步到位

    2)两堆:留下的两堆,石子数相同即可

    3)任意多:偶数同2)

    ​ 奇数:(1, 2k, 2k + 1)

    ​ (2, 4m, 4m + 2), (2, 4m + 1, 4m + 3),

    ​ (3, 4m, 4m + 3), (3, 4m + 1, 4m + 2)

    ​ (4, 8m, 8m + 4), (4, 8m + 1, 8m + 5), (4, 8m + 2, 8m + 6), (4, 8m + 3, 8m + 7);
    这里得背

  5. 扑克牌魔术:五张牌取一张,由剩下四张判断取出的一张(详细见课本207)

    • 花色确定:鸽笼原理,五张牌一定有两张同花色;取出一张,另一张放在首位。
    • 点数判断:首先用剩下三张,摆出1 ~ 6的数字:小中大 = 1,小大中 = 2 以此类推。
    • 最后按照首位牌点数,和上面摆出的1~6获取实际点数:同花m, n (m < n)
      • 若 n - m <= 6,则交n留m;3张牌摆出 n - m;(用 [n - m] + m 得出 n)
      • 若 n - m > 6,则交m留n;三张牌摆出 13 + m - n;(用 [13 + m - n] + n 得出 13 + m)

    具体见课本207,大概思路是这样

  6. RSA 编码

    • 原理:破解密码需要分解大数,大数分解困难
    • 密钥制作流程:
      • 先获取两个大素数p, q
      • 由此获取大数 N = p * q
      • 接着选取一个与(p - 1)、(q - q) 互素的数 n
      • 然后选取m,满足 mn - 1 = k(p - 1)(q - 1),k 为倍数
      • 公开密钥 N && n
    • 密钥使用:
      • 加密:用 N 和 n,比如明文 x,加密成 y = (x ^ n) % N。
      • 解密:用 N 和 m,比如解密上面的y,就是 x’ = (y ^ m) % N
    • 具体例子见课本 p228

标签:MOOC,8m,幻方,笔记,4m,数学,几何,余数,赏析
来源: https://blog.csdn.net/qq_45108415/article/details/118277339