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为什么点积如此定义？

2021-06-20 12:31:14 作者：互联网

我们知道两个向量的点积定义如下：
$a\cdot b=|a||b|cos\theta$

其中|a|表示向量a的模，即长度， $\theta$ 表示向量a和b的夹角。

但是点积为什么如此定义呢？首先我们需要知道为什么定义点积。点积是一种内积，其是线性空间中对两个向量之间的一种操作。点积的定义是为了定义线性空间中向量的长度和向量之间的角度。有了点积，我们才可以进一步的定义向量a的长度：

$|a|=\sqrt{a\cdot a}$

假设向量a的坐标为(x,y)，x,y>0，基为e1,e2，基的夹角为 $\beta$ ，那么通过余弦定理，我们可以知道，向量a的长度应该为：

$|a|^{2} = (x|e_{1}|)^{2}+(y|e_{2}|)^{2}-2xy|e_{1}||e_{2}|cos(\pi-\beta)=x^{2}+y^{2}+2xy|e_{1}||e_{2}|cos\beta$

因为e1,e2是标准基，所以|e|的为1。

上面是通过三角形的余弦定理得到的向量a的长度，接下来根据点积对于长度的定义，我们有：

$|a|^{2}=a\cdot a=(xe_{1}+ye_{2})\cdot (xe_{1}+ye_{2})=x^{2}e\tfrac{2}{1}+y^{2}e\tfrac{2}{2}+2xye_{1}e_{2}$

又因为e1,e2是标准基，即长度为1，所以有：

$1=|e|^{2}=e\cdot e=e^{2}$

因此，根据内积对长度的定义，得到：

$|a|^{2}=x^{2}e\tfrac{2}{1}+y^{2}e\tfrac{2}{2}+2xye_{1}e_{2}=x^{2}+y^{2}+2xye_{1}e_{2}$

对比由余弦定理得到的向量a的长度，为了使得内积定义的长度和余弦定理得到的长度一致，可以得到：

$e_{1}\cdot e_{2} = |e_{1}||e_{2}|cos\beta$

由此，我们得到了基的点积正是我们对于内积的定义。并且，由基的如此点积，可以推导得到任意向量a和b的点积也是如此的形式，即本文开头对于点积的定义。

至此，我们知道，对于点积的定义并不是随意的，点积的定义的目的是为了定义向量空间中向量的长度和角度，为了使得定义的长度和角度符合我们的现实直观，便导出了点积如此的定义。所以，点积的如此定义形式实际上是为了和我们对于长度和角度的直观理解保持一致，从而可以对现实世界进行合理建模。

标签：为什么,内积,定义,点积,余弦定理,长度,向量
来源： https://blog.csdn.net/S_o_l_o_n/article/details/118067978