其他分享
首页 > 其他分享> > 数学笔记——导数1(导数的基本概念)

数学笔记——导数1(导数的基本概念)

作者:互联网

 什么是导数

  导数是高数中的重要概念,被应用于多种学科。

  从物理意义上讲,导数就是求解变化率的问题;从几何意义上讲,导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。

  我们熟知的速度公式:v = s/t,这求解的是平均速度,实际上往往需要知道瞬时速度:

  当t趋近于t0,即t-t0趋近于0时,得到的就是顺时速度。设Δt=t-t0,s是t的函数s=f(t),瞬时速度用数学表示就是:

  从几何意义上讲,导数是函数在某一点处的切线的斜率:

   直线a与曲线相切于点Q,直线b与曲线相割于点Q和点P。b的斜率是k=(y-y0)/(x-x0),当b以Q为轴心沿着曲线旋转时,铉长|PQ|趋近于0,即x→x0时,极限存在:

  由上述两个问题可以看出,变化率和切线的问题都可以归结为下面的公式:

  令Δx = x-x0, Δy = y - y0 = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0),上面的公式可以写成:

  由此得出导数的概念,设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量Δx,且x0+Δx仍在该邻域内时,y取得增量Δy;如果Δy与Δx之比在Δx→0时存在极限,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记作f’(x0) :

  也记作:

    简写为:

1/x求导

  根据导数公式,代入f(x) = 1/x

    这就OK了,所以说导数很简单,因为它仅有一个公式。但没完,因为上式没有任何意义,仅仅是看起来更复杂了。如果我们直接观察导数公式,对于所有求导,当Δx→0时,分母都为0,所以必须将导数进一步简化。

   “求f(x)的导数”或“对f(x)求导”有两种解释,一种是求f(x)的导函数,此时的结果是一个函数;另一种是求f(x)在定义域某一点的导数,此时的结果是将该点的值代入导函数,最终得到一个具体的数值。究竟是哪种解释需要根据上下文判断,通常都很直白,不必太过纠结。

求切线所在三角形的面积

  直线MN是曲线1/x的切线,切点是(x0,y0),求S△MON

   S△MON = 1/2(OM × ON),已知条件是切点(x0,y0),需要求解的未知条件是OM和ON。

  直线MN的函数是y=kx+b,1/x在(x0,y0)的导数是MN的斜率,即k = -1/x02:

 

  设M点的坐标是(x,0),代入y=kx+b:

   同理,ON=2y0

 

sin和cos求导

   先来看两个函数的曲线:

   sin0°= 0,sin90°= sin(π/2) = 1

  求导时需要用到几个公式:

    1、2不解释,3、4后面会给出证明。

sin' x = ?

cos' x = ?

为什么会有公式3、4

  公式3需要从几何意义上证明。

  上图是一个单位圆,将Δx用θ替换。由于单位圆的特性使半径r=1,弧长MN=θ。

  公式3:

  当θ趋近于0时,PN比弧长MN更快地趋近于0,所以公式3成立。

  公式4的道理与公式3类似。sinθ=MP/OM=MP,当θ趋近于0时,MP越来越趋近于MN(二者越来越相等)。

幂函数求导

   总是用极限的方式求导太过麻烦,幸而人们总结出了一系列求导公式。其中幂函数求导就可以直接使用公式:

函数可导的条件

  如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件:函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件(极限存在,它的左右极限存在且相等)推导而来。

  简单来说,可导的函数一定连续;连续的函数不一定可导,不连续的函数一定不可导。

 

  下面是两个不可导的例子:

f(x)=x1/3

  f(x)=x1/3,f’(x)=x-2/3/3在x=0处分母为0,所以在x=0处不可导。实际上该函数在x=0处的切线是y轴,导数趋近于无穷,不符合导数的定义,导数代表变化率,变化率一定是定值,不会有趋于无穷的变化率。

  再来看另一个:

 f(x)=|x|

  几何上,切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说,当切线经过曲线上的某点(即切点)时,切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。f(x)=|x|在x=0点时,曲线没有唯一方向,即在x=0点没有切线,所以该函数在x=0点不可导。

 


   出处:微信公众号 "我是8位的"

   本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

   扫描二维码关注作者公众号“我是8位的”

标签:函数,导数,切线,公式,笔记,求导,x0,基本概念
来源: https://blog.51cto.com/u_15260715/2876878