指数函数
作者：互联网
指数函数
在对 2019-nCoV疫情数据进行拟合和预测的时候，我们用到了logistic函数，当时采用拿来主义，不加解释，其实，其中牵涉到很多数学基础知识，故准备推送一系列从指数函数到logistic函数的推文。这一期，我们先从简单的指数函数开始。 指数函数
一般的，形如
y
=
a
x
y=a^x
y=ax
其中
a
a
a 叫做底数，
a
>
0
a>0
a>0 且
a
≠
1
a≠1
a=1；
x
x
x叫做指数，是函数的自变量，取值范围
x
∈
R
x∈\mathbb{R}
x∈R。也许你会好奇的问，为何底数
a
a
a不能取1或者负数，如果
a
=
1
a=1
a=1，此时原函数就是一个常数函数
y
=
1
y=1
y=1; 而当
a
a
a 取负数的时候，我们来看一个特殊情况
y
=
(
−
1
)
1
=
−
1
y=(-1)^1=-1
y=(−1)1=−1
y
=
(
−
1
)
2
=
1
y=(-1)^2=1
y=(−1)2=1
y
=
(
−
1
)
3
=
−
1
y=(-1)^3=-1
y=(−1)3=−1
y
=
(
−
1
)
4
=
1
y=(-1)^4=1
y=(−1)4=1
从图形来看，随着自变量
x
x
x 增加，因变量
y
y
y 在 -1 和 1 之间来回震荡。这对函数的影响极其恶劣，甚至造成函数的不连续性，为后续的研究带来很多麻烦，所以才人为规定底数不能为负数，并不是说指数函数底数原生不能为负数。
在明确长什么样的是指数函数之后，我们要对指数函数的性质进行探讨，分为
0
<
a
<
1
0<a<1
0<a<1 和
a
>
1
a>1
a>1 两种情况并结合图像来讨论
（1）当
0
<
a
<
1
0<a<1
0<a<1 时
从图像看到此时指数函数
- 定义域为 R \mathbb{R} R，值域为 ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) (0,+∞)
- 减函数，即随着自变量 x x x 的增加，函数值而减少，最后无限接近y轴
- 过固定点 ( 0 ， 1 ） (0，1） (0，1）
- 函数图像向右下倾斜，且越来越平缓
（2）当 a > 1 a>1 a>1 时
- 定义域为 R \mathbb{R} R，值域为 ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) (0,+∞)
- 增函数，即随着自变量 x x x 的增加，函数值也在增加，最后走向无穷
- 过固定点 （ 0 ， 1 ） （0，1） （0，1）
- 函数图像向右上峭，且越来越陡
1，
a
m
∗
a
n
=
a
m
+
n
a^m*a^n=a^{m+n}
am∗an=am+n
2，
a
m
/
a
n
=
a
m
−
n
a^m/a^n=a^{m-n}
am/an=am−n
3，
(
a
m
)
n
=
a
m
n
(a^m)^n=a^{mn}
(am)n=amn
4，
a
1
n
=
a
n
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n] a
an1=na
我们把
m
,
n
m, n
m,n 当成一些整数就很好理解了，第一个表示
m
m
m 个
a
a
a 相乘后的积再与
n
n
n 个
a
a
a 相乘的积作乘法，写出来就是
a
m
∗
a
n
=
(
a
∗
a
∗
⋯
∗
a
)
∗
(
a
∗
a
∗
⋯
∗
a
)
=
a
∗
a
∗
⋯
∗
a
a^m*a^n=(a*a*\cdots*a)* (a*a*\cdots*a) =a*a*\cdots*a
am∗an=(a∗a∗⋯∗a)∗(a∗a∗⋯∗a)=a∗a∗⋯∗a
第一个等式后面的第一个等式括号里面有m 个 a，第二个括号里面有 n 个 a，第二个等式后面有
m
+
n
m+n
m+n 个
a
a
a。第二个和第三个也可以用同样的办法来解释，最后重点解释一下
a
1
n
=
a
n
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n] a
an1=na
假设
a
1
n
=
λ
a^{\frac{1}{n}}=\lambda
an1=λ，现在让等式两边同时作
n
n
n 次方运算，根据性质3，等式左边
(
a
1
n
)
n
=
a
(a^{\frac{1}{n}})^n=a
(an1)n=a，而等式右边为
λ
n
\lambda^n
λn，于是
a
=
λ
n
a=\lambda^n
a=λn，两边再开n次方，得到
λ
=
a
n
\lambda=\sqrt[n] a
λ=na
。如果你是在不想记住这些运算法则，那么你可以让a，m，n去一些特殊值来找规律。
参考文献
1，https://jingyan.baidu.com/article/ad310e80e2d2d31848f49e10.html
2，pow函数
3，https://www.jianshu.com/p/af8a448d4d4f
标签：指数函数,frac,函数,am,an1,等式 来源： https://blog.51cto.com/u_15255081/2870573