【公式编辑测试】两类斯特林数的对偶
作者:互联网
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upd 2021-02-15 刚才知乎冲浪来着,转载一篇文章
喜闻乐见的公式编辑测试环节,联系太多了,所以肯定写不完
let
\[ A=(a_{ij})_{n\times n}=[\ (-1)^{i-j}S_1(i,j)\ ]_{n\times n}\\ B=(b_{ij})_{n\times n}=(S_2(i,j))_{n\times n} \]then
\[AB=BA=I \]注:这里需要对\(i<j\)的斯特林数做定义,具体的定义方式我这里找不到了
还有一些让\(A(x),B(x)\)分别为\(\{a_n\}_{n=0}^{\infty}\)和\(\{b_n\}_{n=0}^{\infty}\)的指数生成函数,以下三命题等价
\[\forall n\geq 0\ \ , b_n=\sum\limits_{i=0}^{\infty}S_2(n,i)a_i\\ \forall n\geq 0\ \ , a_n=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(-1)^{n-i}S_1(n,i)b_i\\ B(x)=A(e^x-1) \quad \text{i.e.} \quad A(x)=B(\ \ln(1+x)\ ) \] \[ \]标签:infty,geq,frac,limits,斯特林,公式,sum,对偶 来源: https://blog.51cto.com/u_15247503/2859963