关于 欧几里得算法+裴蜀定理+扩展欧几里得

一、欧几里得算法

又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数 gcd(a,b)。基本算法：设 a = qb + r，其中a，b，q，r都是整数，则 gcd(a,b) = gcd(b,r)，即 gcd(a,b) = gcd(b,a%b)。

证明：

a = qb + r
如果 r = 0，那么 a 是 b 的倍数，此时显然 b 是 a 和 b 的最大公约数。
如果 r ≠ 0，任何整除 a 和 b 的数必定整除 a - qb = r，而且任何同时整除 b 和 r 的数必定整除 qb + r = a，所以 a 和 b 的公约数集合与 b 和r 的公约数集合是相同的。特别的，a 和 b 的最大公约数是相同的。

递归实现：

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

非递归实现：

int gcd(int a,int b)
{
    while(b!=0)
    {
        int r=a%b;
        a=b;
        b=r;
    }
    return a;
}

二、裴蜀定理

又称贝祖等式，是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。

定理内容：若 a,b 是整数，且 gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数 x ，y，ax+by 都一定是 d 的倍数，特别地，一定存在整数 x , y 使 ax+by=d 成立。

简单来说，我们设 d=gcd(a,b) ，那么对于方程 ax+by=d ，一定存在一组整数解。并且对于方程 ax+by=z ，如果满足 d|z ，那么方程一定有整数解，否则无整数解。

证明：

三、扩展欧几里得

看这个吧：https://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595

标签：gcd,int,欧几里得,最大公约数,整数,算法,qb,ax,裴蜀
来源： https://www.cnblogs.com/marswithme/p/16263953.html