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用python学习微积分（四）链式法则及高阶导数（下）- 链式法则

2021-12-04 22:31:39 作者：互联网

一、公式推导

被引伸的问题,一个复合的函数如何求导？如: $y=(sint)^{10}$

$y' = ((sint)^{10})'$

可以添加中间变量t： $x = sint;$ ( 内部 ) $y=x^{10}$ ( 外部 )

之所以可以这样做，是因为： $\frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \times \frac{\Delta x}{\Delta t}$

当 t->0 ，公式变为 $\frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \times \frac{\Delta x}{\Delta t}$

先计算 $\frac{dy}{dx} = 10x^9$

再计算 $\frac{dx}{dt} = cost$

所以 $\frac{dy}{dt} = 10 (sint)^9 \times cost$ 也可以写成 $10sin^9(t)\times cos(t)$

一道习题：y = sin10t 求 y'

$\frac{d}{dt}sin(10t) = cos(10t)\times 10$

二、高阶微分

u(x) 简写为 u，它的导数简写为u', 对它的导数也可以求导，写作 u''。(u')' = u''

例如 u(x) = sinx; u' = cosx; u'' = -sinx; u''' = -cosx; u'''' = sinx;(也可以写成 $u^{(4)} = sinx$ )

from sympy import *
x= symbols('x')
y = sin(x)
dif = diff(y, x)
dif2 = diff(dif, x)
dif3 = diff(dif2, x)
dif4 = diff(dif3, x)
dif4

这里老师介绍了各种求导的写法：

如 u 是 x 的函数, u的导数有： $\frac{du}{dx};Du;\frac{d}{dx}$

$u''=\frac{d}{dx}\frac{du}{dx} =\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}u=(\frac{d}{dx})^2u=\frac{d^2}{d^2x}u = \frac{d^2u}{dx^2}$

$u''' = \frac{d^3u}{dx^3}=D^3u$

习题： $D^nx^n$ = ?

Dx^n = nx^{n-1}

$D^2x^n = n(n-1)x^{n-2}$

$D^3x^3 = n(n-1)(n-2)x^{n-3}$

$D^{n-1}x^n = n(n-1)(n-2)......2x^1 = n!x$

$D^{n}x^n = n(n-1)(n-2)......2\times 1x^0 = n!$

$D^{n+1}x^n =0$

发布于 2021-12-04 22:18

标签：链式法则,导数,sinx,python,公开课,求导,diff,高阶
来源： https://blog.csdn.net/bullseye/article/details/121722882

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