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复旦高等代数I（22级）每周一题
本学期的高等代数每周一题活动计划从第2教学周开始，到第15教学周结束，每周的周末公布1道思考题（共15道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“22级高等代数在线课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的港队系列算法、数据结构
写在前面 这两个东西其实并没有什么联系，但是因为都是由 @dd_d 首创的，所以写在一起。 Update：不想新开博客了，所以以后 dd_d 有什么新发明就直接在这里更新了。 港队线段树 这是一种高效且简便好写的优秀线段树（ 由香港队长发明的 ），拥有良好的均摊复杂度。 在同时需要记录多个标任意长度循环卷积&单位根反演 学习笔记
今天听 \(\texttt{m}\color{red}{\texttt{yee}}\) 嘴的，赶紧来补个学习笔记。 PS：FFT 本质是长度为 \(2^k\) 的循环卷积。 单位根反演 反演本质： \[\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ai}=[n|a] \]证明： 如果 \(n|i\)，那么显然可以将 \(a\) 拆为若干个 \(\omega_n^n\)，之后式子只剩下机器学习数学基础-4-线性代数基础
线性代数基础 行列式 二元线性方程组的求解： \[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases} \]当 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not ={0}\) 时方程组由唯一解 二阶行列式： 将系数提取并记为：\(D =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{Luogu-P8114 [Cnoi2021]六边形战士
题目链接 题解 方法一 考虑将这个东西看成立方体。相当于在一个 \(a\times b\times c\) 的长方体里堆积，每一层必须堆积在墙角的方案数。 这个东西实际上相当于 \(c\) 个人从 \((a,b)\) 走到 \((0,0)\) ，路径可以重叠但不能穿过，路径总数。 这个问题考虑LGV引理，但是LGV引理处理的是不行列式学习笔记（二）
上期回顾 上次介绍了行列式的基本性质，我们继续探索由性质得出的有用结论（以二阶行列式为基准）。 结论一 如果行列式两行相同，则行列式的值是 \(0\) 。 证明： \[\because \begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} c&d\\ a&b\\ \end{vmatrix}\\ \therefore \begin{单纯形法
单纯形法 线性规划一般形式 在约束条件下、寻找目标函数 z 的最大值 \[max(or \ min) \ z = \displaystyle\sum_{j=1}^n c_jx_j \\ s.t. \begin{cases} \displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij}\ \leq\ (or\ =,\geq)\ b_i\quad(i\ = 1,...,m) \\ \\ x_j\ \geq \ 0 \qquad \q单纯形法
单纯形法 线性规划一般形式 在约束条件下、寻找目标函数 z 的最大值 \[max(or \ min) \ z = \displaystyle\sum_{j=1}^n c_jx_j \\ s.t. \begin{cases} \displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij}\ \leq\ (or\ =,\geq)\ b_i\quad(i\ = 1,...,m) \\ \\ x_j\ \geq \ 0 \qquad \q拉格朗日插值
这篇文章存在极其严重的伪证现象，请就情况往下翻。 在平面直角坐标系中，给出$n+1$个函数在不同的坐标的点，求其解析式 即设$n+1$个点坐标分别为$:(x_0,y_0),(x_1,y_1),......,(x_n,y_n)$ 有$:\sum\limits_{i=0}^ny_i\frac{\prod\limits_{j=0}^n(x-x_j)(i\ne j)}{\prod\limits_{j=0}^n18.06 矩阵
方程组 \[ \left\{ \begin{array}{rl} x + 2y + z = 2 \\ 3x + 8y + z = 12 4y + z = 2 \end{array} \right. \]写成矩阵的形式可以改写为 \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \\ \enDTOJ #5864. 排队 题解
T1 排队(queue) 求长度为 \(n\) 的排列，有 \(m\) 个峰的方案数。 可以暴力打出 \(n\le 10\) 的情况，然后把数据放到 oeis 上。 显然可以递推。我们记 f[n][k] 表示长度为 \(n\) 的排列有 \(m\) 个峰的方案数。 考虑在 f[n-1] 的基础上考虑加入一个 \(n\)。 如果 \(n\) 放在某个峰的backward函数中gradient参数的一些理解
当标量对向量求导时不需要该参数，但当向量对向量求导时，若不加上该参数则会报错，显示“grad can be implicitly created only for scalar outputs”，对该gradient参数解释如下。 当\(\mathbf y\)对\(\mathbf x\)求导时，结果为梯度矩阵，数学表达如下： \[\frac{\partial \mathbf{y}}{\partiABC249H Dye Color 题解
有 \(n\) 个球，第 \(i\) 个球的颜色为 \(A_i\)，颜色是 \(1 \sim n\)。重复以下步骤，直到所有球的颜色相同： 从 \(2^n\) 个子集（包括空集）随机选出一个子集 \(\{X_1, X_2, X_3, \dots, X_K\}\)，然后随机选择一个排列，然后从中间选出 \(K\) 个数 \((P_1, P_2, \dots P_K)\)，接着 \(A_{X_i}高等代数： 2 行列式
2 行列式 2.1 n元排列 1、n个不同的自然数的一个全排列称为一个n元排列。 2、顺序、逆序、逆序数：τ(abcd...)（读音：tao）、奇排列、偶排列、对换(a,b) 3、定理1：对换改变n元排列的奇偶性。 4、定理2：任一n元排列与顺序排列123……n可以经过一系类对换互变，且所做对换次数与这个n元排列有MPC优化问题求解的推导
参考论文为《A Predictive Controller for Autonomous Vehicle Path Tracking》。假设我们要求解的代价函数\(J\)为： \[J=X'QX+U'RU\:(1) \]其中，\(X\)为未来\(N_p\)次的状态预测序列，\(U\)为未来\(N_u\)次的控制序列，亦即表示如下： \[X=\left[\begin{matrix}x(k+1|k)\\x(k+1|k)\\\vd数论变换NTT
目录0. 前言原根Number Theoretic TransformsInverse Number Theoretic Transforms 0. 前言 我们在学Fast Fourier Transforms的时候就会发现输出栏有res[i]=(unsigned long)(a[i].real()/limit+.5) 这里需要加上\(0.5\)以保证输出精度 输出精度是怎么产生的呢？ 我们用复数运算，这「Note」高斯消元（未完）
引入 求解一个线性方程组 \[\begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+...+a_{n,n}x_n=b_n \\ \end{cases} \]可以将方程一个简单矩阵的本征值问题
这是个很简单的矩阵练习题，录在这里玩玩。 1. 问题描述 一个 \(n \times n\) 的方阵，所有对角元都是 0，所有非对角元都是 1，求本征值。 \[M_n = \left| \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots &关于二项式反演
第一反演公式（定理）： 如果多项式 \(f\)，\(g\) 有如下关系： \[\begin{cases} f[n]=\sum_{i=0}^na_{n,i}*g[i]\\ \\ g[n]=\sum_{i=0}^nb_{n,i}*f[i]\\ \end{cases} \]且 \(a_{i,i}!=0\) ,\(b_{i,i}!=0\) 。 那么对于任意的函数 \(u\)，\(v\) 有： \[u[n]=\sum_{i=0}^na_i*v[i] ⟺ v[n人工智能数学基础: 15-基变换对矩阵的影响
基变换对矩阵的影响 下面的命题描述了基的变化对线性映射表示的影响。 命题4.4 设 E E E 和 F F F数学之美读书日记
数学之美读书日记 判断句子是否合乎语法 判断一个句子是否符合人们的习惯（合乎人们的说话习惯）只需要计算出该句子出现的概率就行 假设有一句话为 $ S=w_1w_2w_3…w_n(n=len(s))$ 则 P ( S人工智能数学基础: 13-线性映射的合成和矩阵乘法
线性映射的复合和矩阵乘法 现在让我们考虑如何用基底来表示线性映射的复合。 设 E , F E, F E,F 和矩阵乘法运算（普通乘积、哈达玛积、克罗内克积）
1 普通乘积（matmul product） 若 A A A 是 m × n m线代口胡
代数摁算 \[\begin{vmatrix} A&0\\ -E& B \end{vmatrix} =|A||B|\\ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}&0&0&…&0\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}&0&0&…&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\矩阵的三角分解
设实矩阵 A \boldsymbol{A} A的各阶主子式 ∣ A