Lecture 7：Ax = 0
作者：互联网
\[A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
3 & 6 & 8 & 10
\end{pmatrix}
\longrightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
= U
\]
矩阵\(A_{m\times n}\)的秩定义为主元的个数，记为\(rank(A) = r\)
自由变量个数为\(n - r\)
回带：
\[\begin{cases} x_1 + 2x_2 + &2x_3 &+ 2x_4 &= 0 \\ & 2x_3 &+ 4x_4 &= 0 \end{cases} \]自由变量随便取值，可得解：
\[x = c \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \]定义矩阵\(R\)为矩阵\(A\)的简化行阶梯矩阵（reduced row echolom form）：
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = R = rref(A) \]对应方程组为：
\[\begin{cases} x_1 + 2x_2 - 2x_4 &= 0 \\ x_3 + 2x_4 &= 0 \end{cases} \]将矩阵\(R\)的第二列和第三列交换，得：
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]因此，\(R\)可以写成：
\[R = \begin{pmatrix} I & F \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]的形式。
由\(Rx = 0\)，即\(RN = 0\)，\(N\)为零空间，可以得出零空间的表示方式：
\[N = \begin{pmatrix} -F \\ I \end{pmatrix} \]标签：begin,end,矩阵,2x,pmatrix,Ax,Lecture,cases 来源： https://www.cnblogs.com/miraclepbc/p/14470146.html