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复旦大学2021--2022学年第二学期（21级）高等代数II期末考试第八大题解答

八、(10分) 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $B,C$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 使得 $BA^{-1}C$ 为对称阵. 证明: $$|A|\cdot|B+C|\leq |A+B|\cdot|A+C|,$$ 并求等号成立的充分必要条件. 证明由 $A$ 正定可知 $A^{-\frac{1}{2}}AA^{-\frac{1}{2}}=I_n$, 由 $BA^{-1}C$ 对称以及 $B,

矩阵的运算

目录矩阵的加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘方阵的幂运算方阵的多项式线性方程的矩阵表示矩阵的转置对称矩阵、反对称矩阵矩阵的逆矩阵的加法定义: 设 \(A=(a_{ij})、B=(b_{ij})\) 均为 \(m\times n\) 矩阵，将它们的对应位置元素相加得到的 \(m\times n\) 矩阵，称为矩阵 \(A\) 与

CF559C Gerald and Giant Chess

Gerald and Giant Chess CF599C (Luogu) 题面翻译给定一个H*W的棋盘，棋盘上只有N个格子是黑色的，其他格子都是白色的。在棋盘左上角有一个卒，每一步可以向右或者向下移动一格，并且不能移动到黑色格子中。求这个卒从左上角移动到右下角，一共有多少种可能的路线。题目描述 Giant chess

机器学习数学基础-4-线性代数基础

线性代数基础行列式二元线性方程组的求解： \[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases} \]当 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not ={0}\) 时方程组由唯一解二阶行列式：将系数提取并记为：\(D =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{

游戏中的数学：向量

向量（Vector），又称矢量，可以用来表达同时具有大小和方向的物理量。向量没有位置，只有方向（Direction）和大小（Magnitude，也叫做模或长度）。这听起来不可思议，但其实日常生活中很多量有大小（Size）和方向（Direction），却没有位置（Position）。例如：位移：“向前走三步”。这句话好像是关于位置的，但其实句子

try

\begin{equation} F(x)=\int_0^t\sin(t)\mathrm{d}\,t+\left[\lim_{x\rightarrow0}g(x)\times\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{\Gamma(m+{\color{red}α}+1)}\right] \end{equation} \begin{equation} T_B^A \\ = T_G^AT_B^G \\= (T_A^i)^{-1}T_B^i

量子计算提前填坑

现在即使科学家也处于量子计算的早期研究阶段，各大量子机厂商也在摸索阶段，所以不同机器的逻辑很可能不兼容，就像Intel和AMD一样。还有个棘手问题是退相干引起的，因为量子程序一旦开始就不能中止了，没法执行一半保存起来下次继续。这样就要求程序必须在量子信息衰退之前就完成，不然就拿

奇异值分解

概述奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，区别于只适用于实对称矩阵的特征分解方法，奇异值分解可对任意实矩阵进行分解。特征分解特征分解（eigendecomposition）又叫谱分解（Spectral decomposition），是把一个矩阵根据其特征值和特征向

利用快速幂算斐波那契

斐波那契数学方法斐波那契的递推式有\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，可以证明\(\begin{pmatrix}F_n & F_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_{n-1}&F_{n-2} \end{pmatrix}*A\) ，\(A\)是常量矩阵。 \[\begin{pmatrix}F_3 & F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_2&F_1

python机器学习——PCA降维算法

背景与原理： PCA（主成分分析）是将一个数据的特征数量减少的同时尽可能保留最多信息的方法。所谓降维，就是在说对于一个$n$维数据集，其可以看做一个$n$维空间中的点集（或者向量集），而我们要把这个向量集投影到一个$k<n$维空间中，这样当然会导致信息损失，但是如果这个$k$维空间的基底选取的足

图像处理-梯度计算

1.概述 2.Laplacian算子下面我们用最后得出梯度的幅值为\(G(x,y) = \sqrt{ \left(g_{x}^2 +g_{y}^2\right)}\)方向为: \(\theta = \arctan{\frac{g_{y}}{g_{x}}}\)现在我们用程序来实现这个过程。拉普拉斯算子，在数学上的表达式为： \[L(x,y) = \frac{\partial f(x)}{\partial x^{

1

目录一、线性可分支持向量机二、函数间隔、几何间隔1.函数间隔2.集合间隔三、间隔最大化1.最大间隔分离超平面2.支持向量、间隔边界四、对偶算法1.线性可分支持向量机对偶算法 SVM是一个二元分类算法。 SVM学习策略：间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划问题。（间隔最大化使它有

高斯消元

高斯消元定义数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决

《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 4 Transforms（二）

上接文章：《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 4 Transforms（一）四、顶点混合顶点混合（vertex blending）是为了解决静态物体无法产生柔和的关节变换的问题。顶点混合也称为线性混合蒙皮（linear-blend skinning）、遮罩（enveloping）、骨骼子空间变换（skeleton-subspace

CF997D Cycles in product

题意给你大小为 \(n_1, n_2\)的两棵树 \(T_1, T_2\)，构造一张新图，该图中每一个点的编号为 \((u,v)\)。如果在 \(T_1\) 中， \(u_1\) 和\(u_2\) 之间有边，那么在该图上，对于任意 \(1\le v\le n_2\)，\((u_1, v)\) 和 \((u_2, v)\) 之间有边。同样，如果在 \(T_2\) 中，\(v_1\)

题解 P5282 【模板】快速阶乘算法

传送门总算是学会了这个算法...... 【前置芝士】多项式乘法任意模数多项式乘法多项式连续点值平移前两个用于处理任意模数意义下的多项式乘法；第三个用于在未知一个不超过 \((r-l)\) 次的多项式具体形式，但已知其在某连续区间 \([l,r]\) 的 \((r-l+1)\) 个点值时，求出任一与

重返现世

重返现世 min-max 容斥，DP 记 \(\min\limits_k\{S\}\) 表示 \(S\) 中出现至少 \(k\) 个元素的期望时间答案便为 \(\min\limits_{k} \{U\}, U = \{n \cdot 1\}\) 考虑到 \(k\) 很大，而 \(n - k\) 很小，所以转化一下 \(\min\limits_k \{U\} = \max\limits_{n - k + 1} \{U\}\) 记 \(k&

线性回归-多元线性回归

符号定义 \(D\) \(数据集,一个m\times (d+1)大小的矩阵X\) \(m\) \(样本量\) \(d\) \(维度,不含偏置项\) \(X=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} & ... & x_{1d}

用python实现线性规划

用Python实现线性规划使用python库中scipy中的函数linprog来求解线性规划 linprog函数中线性规划的标准形式为 \[\min c^Tx\\ s.t\left\{\begin{aligned}Auq\cdot x&\le b\\ Aeq\cdot x&=beq\\ lb\le x&\le ub\end{aligned}\right. \]其中c和x为n维向量，A、Aeq为适当维度的矩阵，b、

「Note」高斯消元（未完）

引入求解一个线性方程组 \[\begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+...+a_{n,n}x_n=b_n \\ \end{cases} \]可以将方程

离散随机变量-伯努利分布

伯努利分布（Bernoulli Distribution）在一次试验中，事件\(A\)出现的概率为\(\mu\)，不出现的概率为1 − \(\mu\)。若用变量X 表示事件A出现的次数，则\(X\) 的取值为\(0\)和\(1\)，其相应的分布为 \(p(x)=\mu^x(1-\mu)^{1-x}\) 二项分布（Binomial Distribution）在n次伯努利分布中，若以变量X

RLS算法-公式初探

RLS算法-公式推导不带遗忘因子的推导：递推最小二乘法推导（RLS）——全网最简单易懂的推导过程 - 阿Q在江湖的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/111758532 对于一组观测点\((x_1, y_1)\)，\((x_2, y_2)\)，\(\cdots\)，\((x_n, y_n)\)，有如下优化问题： \[err_{min} = min \sum_{i=1

极值充分条件

极值充分条件设二元函数\(f\)在点\(P_0(x_0,y_0)\)的某邻域\(U(P_0)\)上具有二阶连续偏导数，且\(P_0\)是\(f\)的稳定点。则当\(H_f(P_0)\)是正定矩阵时，\(f\)在点\(P_0\)处取得极小值；当\(H_f(P_0)\)是负定矩阵时，\(f\)在点\(P_0\)处取得极大值；当\(H_f(P_0)\)是不定矩阵，\(f\)在点\(P_

二项式反演笔记（草稿）

一般形式 \[f(n)=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix}g(k)\\ \Rightarrow g(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix}f(k) \]\(~~~~\) 可以认为是至多与恰好的特殊形式。至多与恰好 \[f(n)=\sum_{i=m}^n \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} g

人工智能数学基础: 15-基变换对矩阵的影响

基变换对矩阵的影响下面的命题描述了基的变化对线性映射表示的影响。命题4.4 设 E E E 和 F F F