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组合数学和群论
五、组合数学 生成函数常识 对于数列\(\lbrace a_n \rbrace\),函数 \[F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_ik_i(x) \]是它的生成函数 \(k_n(x)\)被称为核函数 分类 \(1.\)普通生成函数：\(k_n(x)=x^n\) \(2.\)指数生成函数：\(k_n(x)=\frac{x^n}{n!}\) \(3.\)狄利克雷生成函数：\(k_n(x)=\frac1509. 斐波那契数
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你 n ，请计算 F(n) 。 来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/fibon509. 斐波那契数
509. 斐波那契数 斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你 n ，请计算 F(n) 。 示例 1： 输入：2 输出：1 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1Leetcode70. 爬楼梯(公式+动态规划优化)
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/ 解题思路 方法一：数学公式 这是一道很经典的斐波拉契数列题，所以可以用数学公式计算出来。 F nFibonacci数列通项公式
通常方法 F[0]=0, F[1]=1, F[n]=F[n-1]+F[n-2] (n>1) 改写为简单的形式：F[n] = F[n-1] + F[n-2] + [n=1] 采用机械方法得到封闭形式： \[\begin{align} \sum_nF[n]x^n &= \sum_nF[n-1]x^n + \sum_nF[n-2]x^n + \sum_n[n=1]x^n\\ F(x) &= xF(x) + x^2F(x) + x\\ F(x) &= \frachdu3117 Fibonacci Numbers（数论+矩阵快速幂）
题目链接： 3117 ( Fibonacci Numbers ) 位数小于 \(8\) 的可以打表直接输出。 对于位数大于 \(8\) 的，直接用大数求 \(Fibonacci\) 的第 \(n\) 项会 \(TLE\) ，因此需分别求解前 \(4\) 位和后 \(4\) 位。 后 \(4\) 位直接矩阵快速幂取模即可，参见 poj3070 Fibonacci（矩阵快速幂取模） ，或者climbStairs
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。 每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？ 注意：给定 n 是一个正整数。 示例 1： 输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶 // 斐波那契数 // 记忆性迭代 class SolutionLuogu P5320 [BJOI2019]勘破神机
Link \(m=2\) 此时答案为\(\frac{\sum\limits_{i=l+1}^{r+1}{f_i\choose k}}{r-l+1}\)，其中\(f_i\)为第\(i\)个Fibonacci数。 也就是说我们现在要考虑如何求出\(\sum\limits_{i=l}^r{f_i\choose k}\)。 我们知道\(f_n=\frac1{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt 5}2)^n-\frac1{\sqrt5}(\frac{1-