Leetcode70. 爬楼梯(公式+动态规划优化)

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

解题思路

方法一：数学公式
这是一道很经典的斐波拉契数列题，所以可以用数学公式计算出来。
F n = 1 / 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] F_{n}= 1/\sqrt{5}\left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right] Fn​=1/5 ​[(21+5 ​​)n−(21−5 ​​)n]

代码

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        double sqrt5 = Math.sqrt(5);
        double fibn = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
        return (int) Math.round(fibn / sqrt5);
    }
}

方法二：动态规划

动态规划的关键就是能转化为更小规模的子问题。那我们首先想一下，如果要达到第n层，只走一次有几种方法能达到？答案显而易见，只有在n-1和n-2阶台阶时能一次达到n阶(因为题目中说一次只能走一步或者两步)。那我们就能的出dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];我们再看一下初始条件，第一阶只有一种方法。

代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;  //为了方便我们假设第0阶有1中方法
        dp[1] = 1;  //到达第一阶只有一种方法
        for(int i = 2; i <= n; i++) 
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];  //到达第i层只有可能从i-1层和i-2层才能一次到达
        return dp[n];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

方法三：动态规划优化

其实我们不难发现第n阶之和前面第n-1阶和n-2阶有关，所以我们可以不必用一个数组存储，而可以直接用3个变量保存这三个状态。

代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int a = 1, b = 1, c;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            c = b + a;
            a = b;
            b = c;
        }
        return b;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

标签：Leetcode70,爬楼梯,int,公式,复杂度,sqrt5,Math,public,dp
来源： https://blog.csdn.net/qq_44713772/article/details/116486238