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Burnside引理和Polya定理笔记
讲的东西越难，越要坚持做笔记！ 以往的板子都记在剪贴板上，因为没什么推导。但群论不得不推导一堆。 置换与置换群 有限集合到自身的双射称为 置换。 e.g. 对于 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\), \[ f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\ a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n} \end{pmatburnside引理和polya定理
burnside引理：$ans=\frac{1}{n} *(f(1)+...f(n))$ $f(i)$表示在i置换下本质不同排列的个数 polya定理： 利用本质不同位置的个数去计算$f(i)$ 对于长度为n的序列移动i之后显然循环节是$gcd(n,i)$ 考虑对于一个因数d,显然$gcd(n,i)=d$的个数是$phi(n/d)$polya定理
#include<bits/stdc++.h> #define int long long #define MAXN 1000005 using namespace std; const int p=1e9+7; int my_pow(int a,int b) { int res=1; while(b) { if(b&1) { res=(res*a)%p; }洛谷 P5233 - [JSOI2012]爱之项链（Polya 定理+递推）
洛谷题面传送门 首先很明显题目暗示我们先求出符合条件的戒指数量，再计算出由这些戒指能够构成的项链的个数，因此考虑分别计算它们。首先是计算符合条件的戒指数量，题目中“可以通过旋转重合的戒指视作相同”可以让我们联想到 Polya 定理，具体来说根据 Polya 那套理论，符合条件的戒指个Burnside引理和Polya定理详解（适合零基础）
声明：本知识点为帮助大家更好地理解置换群论这一抽象的内容，一些定义中掺杂了撰写者自身的理解，和严格的数学定义有些出入，基本为数学定义的缩小解释和限制解释。 另外，统一一些符号的使用。 对集合A，|A|表示A中元素的个数 对命题p，若为真，则[p]=1；若为假，则[p]=0。如[1>2]=0，[gcd(3,5)=解题报告 (五) Burnside引理和Polya定理
Burnside引理 笔者第一次看到Burnside引理那个公式的时候一头雾水，找了本组合数学的书一看，全是概念。后来慢慢从Polya定理开始，做了一些题总算理解了。本文将从最简单的例子出发，解释Burnside引理和Polya定理。然后提供一些自己做过的和上述定理相关的题目和解题报告。 Burns【洛谷2561】[AHOI2002] 黑白瓷砖（Polya定理）
点此看题面 把\(\frac{n(n+1)}2\)个正六边形摆成一个“三角形”，然后给每个六边形染上颜色。 有顺时针/逆时针旋转\(120^\circ\)和左右翻转两种操作，问有多少种本质不同的染色方案。 \(n\le20\) \(Polya\)定理 考虑\(Polya\)定理的公式： \[L=\frac1{|G|}\sum_{i=1}^sm^{c(g_i)} \]【笔记】Polya定理
本文主要参考 《Introductory combinatorics》（Richard A. Brualdi，Prentice Hall (2009)）。 Burnside定理（Theorem 14.2.3） 令\(G\)是\(X\)上的一个置换群，\(C\)是一个\(X\)的染色的集合，满足对所有\(f\)属于\(G\)，\(c\)属于\(\mathcal C\)，有\(f*c\)属于\(C\)。那么\(N(G,\mathcal C)\)，\(poj2154(Polya+欧拉函数优化模版）
#include <cstdio> #include <cstring> #include<iostream> using namespace std; const int maxx=45000; int p; int vis[maxx]; bool primes[maxx]; int k=0; void prime(){//素数筛 int i,j; memset(primes,true,sizeof(primes)); for(i=2;i<Polya 定理
一些概念 群 设有一个集合 \(G\) ，再设一种作用于 \(G\) 的二元运算 \(X\) 。 若其满足以下 \(4\) 个性质，则称其为一个群，记为 \((G,X)\) ： \(1.\) 封闭性：若 \(a \in G\) ， \(b \in G\) ，则有 \(a\ X\ b \in G\) 。 \(2.\) 结合律：对于任意 \(a \in G\) ， \(b \in G\) ， \(c \in G\) ，有 \(用递归方法求n阶勒让德多项式的值,递归公式为
用递归方法求n阶勒让德多项式的值,递归公式为 题目解析: 递归函数的设计，有一个点非常重要，那就是必须要有返回条件，，此题中的返回条件即为n0和n1时，因为当n为这两值时，程序直接返回相应的值，只有n>=1时，才进行递归运算。 代码示例: #include<stdio.h> double polya(int n,int x) { dou等价类计数：Burnside引理 & Polya定理
提示: 本文并非严谨的数学分析，有很多地方是自己瞎口胡的，仅供参考。有错误请不吝指出 :p 1. 群 1.1 群的概念 群 \((S,\circ)\) 是一个元素集合 \(S\) 和一种二元运算 $ \circ $ 的合称，其满足以下性质。 封闭性 对于 \(\forall a,b \in S\) ， \(\exist c \in S\) 使得 \(c = a \cirPolya 定理入门[Burnside引理,Polya定理,欧拉函数]
\(这篇blog重点讨论Polya的应用, 更详细的证明请百度 .\) \(Burnside引理\) \[L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D(a_i)\] \(L\): 本质不同的方案数. \(G\): 置换群集合. \(a_i\): 置换群中的第 \(i\) 个置换. \(D(a_i)\): 进行 \(a_i\) 这个置换, 状态不会变化的方案 数量. 该Polya 定理入门[Burnside引理,Polya定理,欧拉函数]
$这篇blog重点讨论Polya的应用, 更详细的证明请百度 .$ ___ $Burnside引理$ $$L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D(a_i)$$ $L$: 本质不同的方案数. $G$: 置换群集合. $a_i$: 置换群中的第 $i$ 个置换. $D(a_i)$: 进行 $a_i$ 这个置换, 状态不会变化的方案 数量. 该引理与下方内Polya定理
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_41661809/article/details/86612914 在着色问题上常常用到Polya 定理来解决计数问题,是组合数学的基本定理之一 . 首先先引入置换群 , 设 S = { 1,2,3...n} , S 上的任何双射函数poj 1286 polya定理
Necklace of Beads Description Beads of red, blue or green colors are connected together into a circular necklace of n beads ( n < 24 ). If the repetitions that are produced by rotation around the center of the circular necklace or reflection to the axiLG4980 【模板】Polya定理
题意 题目描述 给定一个$n$个点，$n$条边的环，有$n$种颜色，给每个顶点染色，问有多少种本质不同的染色方案，答案对$10^9+7$取模 注意本题的本质不同，定义为：只需要不能通过旋转与别的染色方案相同。 输入输出格式 输入格式： 第一行输入一个$t$，表示有$t$组数据 第二行开始，一共$t$行，每行一个整BZOJ1004[HNOI2008]Cards——polya定理+背包
题目描述 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种P4980 【模板】Polya定理
思路 polya定理的模板题，但是还要加一些优化 题目的答案就是 \[ \frac{\sum_{i=1}^n n^{gcd(i,n)}}{n} \] 考虑上方的式子怎么求 因为\(gcd(i,n)\)肯定有很多重复，枚举\(gcd(i,n)\)，因为\(gcd(i,n)\)是\(n\)的约数，所以枚举约数 \[ \begin{align}&\sum_{d|n}^nn^d\sum_{k=1}^n[gcd(n,k)