polya定理

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define MAXN 1000005
using namespace std;
const int p=1e9+7;
int my_pow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
          if(b&1)
          {
             res=(res*a)%p;    
          }
          a=(a*a)%p;
          b>>=1;
    }
    return res;
}
int phi(int x)
{
    int res=x,yx=x;
    for(int i=2;i*i<=yx;i++)
    {
        if(x%i) continue;
        res-=res/i;
        while(!(x%i)) x=x/i;
    }
    if(x>1) res-=res/x;
    return res%p;
}
int T;
int n,tot;
int F(int x)
{
    return (my_pow(n,x)*phi(n/x)%p)%p;
}
signed main()
{
    //定义群:集合+计算符号
    //封闭性:无论怎么计算都在群内
    //结合律:(A*B)*C=A*(B*C)
    //单位元:e在群内,e*A=A
    //逆元:A*A'=e
    //考虑什么是单位元,一定是一个元素乘另一个元素是本身
    //子群:
    //元素全部属于G,也满足群的性质
    //陪集:
    //G是一个群,H是G的子群
    //且有g包含于G
    //如果a*h=aH那么a是H在G里面的左陪集 
    //自然也有右陪集 
    //下面讨论右陪集 
    //陪集的性质:
    //任取g属于G
    //|H|=|Hg|
    //肯定不一样
    //g属于Hg
    //有单位元显然
    //Hg=H,g属于H
    //显然
    //Ha=Hb
    //Ha*b'=H
    //a*b'属于H
    //陪集不是完全不同就是完全一样
    //如果有相同部分肯定能搞出来,因为封闭性
    //全体右陪集的并是G
    //也很显然了
    //拉格朗日定理
    //有限群G,和有限群H
    //若H是G的子群
    //那么有|H|整除|G| 
    //H的阶整除G的阶
    //|H|*|G:H|=|G|
    //也显然,每个不一样,而且对应搞出来是全集
    //置换:
    //第一行是原来的数
    //第二行是新的位置的是上一层哪一个位置 
    //不同置换n!个 
    //置换群
    //(G,*)排列集合+置换=置换群
    //有封闭性,有全部排列
    //逆元,单位元必然存在
    //群作用,分为左群作用和右群作用
    //传入二元函数f(e,k)=k(e是单位元)
    //f(g,f(s,k))=f(g*s,k) k是M的元素 
    //理解一下就是先给里面函数一下的结果作用于和两个提前作用一样
    //G作用于M
    //轨道-稳定子定理
    //考虑一个作用于X上的群 
    //X的一个元素x的轨道则是x变成X里的元素
    //可以转移到元素的集合
    //G(x)就是轨道,g(x)=f(g,x)
    //稳定自G(x)={g|g属于G,g(x)=x}
    //就是怎么变都是自己
    //就是所有满足g能让x变成自己的元素的集合
    //给定一个2*2的矩阵
    //每个点都可以黑白染色
    //所有的元素构成的矩阵集合M
    //当一个元素经过置换可以得到
    //那么他们属于一个等价类
    //轨道大小于稳定子大小乘积为4,刚好是G的大小
    //集合是那几个
    //群是旋转,稳定子是所有的的群里的元素 
    //得到结论
    //稳定子大小乘轨道大小就是一个群大小
    //这就是轨道-稳定自定理
    //|Gx|*|G(x)|=|G|
    //Gx是G的子群必然
    //e属于Gx的元素
    //稳定子是群里的,轨道G(x)=f(x,k)
    //当x作用任何k都不变,那就是稳定子
    //Gx是所有g让g(x)=x的元素
    //定理重新强调
    //|Gx|*|G(x)|=|G| 
    //稳定子大小*轨道大小是总的集合大小 
    //继续
    //Gx是G的子群显然
    //Gx存在逆元
    //感觉是群的话就有封闭性
    //貌似也是,Gx不是稳定子吗,那么乘起来肯定也是稳定子了呗
    //逆元的话也是必然有
    //那么拉格朗日定理证明
    //|Gx|*|G:Gx|=|G|
    //感觉挺对的
    //就是稳定子大小*不同陪集大小=全集 
    //Burnside定理
    //定义一个置换群G
    //定义作用于集合X
    //就是那个运算f(g,x)
    //x,y在作用下相等意味着
    //f(g,x)=y
    //那么x,y属于一个等价类
    //就是能经过一些置换能互相到达 
    //那么不同等价类的数量是|X/G|=1/|G|(sum)Xg
    //X是集合,G是置换群
    //|X/G|是不同等价类的数量
    //就是类似的吧全集分到好几个群里了
    //Xg就是在g的作用下不动点的数量
    //在g的作用下f(g,x)=x
    //给出结论,等价类数量等于每一个g作用于X的不动点的算术平均值
    //证明： 
    //由于每个元素仅属于一个轨道,并且内部互相到达
    //陪集的性质可以得到
    //|G:Gx|=|G|/|Gx|
    //G的所有不同的轨道=总集合/稳定子
    //枚举所有X
    //那么又因为反了,所以
    //|X/G|=(sum)Gx/G
    //这个式子表示的是
    //Gx那能让x不变的所有的置换
    //那么这个式子的是所有的不动点的数目
    //不同等价类的数量 
    //分两种,无非是每个置换的所有不动点加起来
    //或者是每个不动点对应哪些g
    //那个式子就可以表示|G:X|所有的不同等价类
    //1/|G|*每个置换对应的不动点数量和
    //这道题的答案无非是,等价类的种类
    //M为{1->n}的所有排列表示的初始的换(集合)
    //Ans=1/|G|*(sum)Mg
    //就是每个置换的不动点的数量
    //考虑每个置换的贡献是多少
    //考虑每个置换的不动点的数量表示什么
    //就是当前置换下还是本身的数量
    //对于旋转k个而言,我们知道一个元素的不动点等价于存在
    //不动点等价于存在长度为a的循环节,满足a|k
    //那么a|n,貌似很显然的
    //那么条件就是存在长度为gcd(k,n)的循环节
    //那么就是1/n*i^gcd(i,n)
    //那么polya是什么 
    //这道题也是求不动点
    //那么貌似很显然的,转多少圈就是几个可操作点
    //polya了
    //1/|G|(sum)m^{cg}
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        for(int i=1;i*i<=n;i++)
        {
            if(n%i) continue;
            tot+=F(i)%p;
            tot%=p;
            if(i*i!=n)
            {
                tot+=F(n/i)%p;
            }
        }
        tot=tot*my_pow(n,p-2)%p;
        printf("%d\n",tot%p);
        tot=0;
    }
}

标签：int,定理,元素,Gx,不动点,陪集,polya,置换
来源： https://www.cnblogs.com/Force-A/p/15856830.html