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位运算卷积与快速沃尔什变换

我们要快速计算一类形如 \[c_i=\sum_{j\oplus k=i} a_jb_k \]的问题，其中 \(\oplus\) 是 \(\operatorname{bitand},\operatorname{bitor},\operatorname{xor}\) 之一。 And 卷积 / Or 卷积 对于下标范围是 \([0,2^n-1]\) 的数列 \(a\)，设 \[\mathrm{FMT}(a)_i=\sum_{j\operatorname{

快速沃尔什变换（FWT）

快速沃尔什变换 解决什么问题？ 回顾之前学过的快速傅里叶变换，能在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度内计算下面这个卷积式： \[C[k] = \sum_{i+j=k}A[i]\times B[j] \]而快速沃尔什变换解决的问题与上式略有不同： \[C[k] = \sum_{i\bigoplus j = k} A[i]\times B[j] \]其中，\(\bigoplus\)

【笔记】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)

在看懂之前看大家就写了下面三个式子，感觉个个都是谜语人，然而确实只需要下面三个式子就行了... 对于 FFT，我们求的就是多项式卷积，思路是对数组变换一波，然后点乘，然后再逆变换回来 对于数组 A 和 B，求 C 定义为：$$C_i=\sum_{j\oplus k = i}A_j \times B_k$$ 其中 \(\oplus\) 分别可以是

[学习笔记]快速莫比乌斯与快速沃尔什变换

直接给定形式吧。 不给证明了。 或卷积 \(c_i = \sum_{i | j =k} a_i * b_i\) 写作\(FWT(A)_i = \sum_{j \in i}A_j\) 将\(A\)对半分为\(A_0,A_1\) \(FWT(A) = \left\{ \begin{aligned} (FWT(A_0),FWT(A_0) + FWT(A_1))\\ A(len_A = 0) \end{aligned} \right.\) 先转成\(FWT\)后，两

沃尔什-哈达玛变换

沃尔什函数沃尔什函数有三种不同的函数定义，但都可由拉德梅克函数构成。 1、按沃尔什排列的沃尔什函数   其中，R(k+1,t)是任意拉德梅克函数，g(i)是i的格雷码， g(i)k是此格雷码的第k位数。P为正整数，    2、按佩利（Paley）排列的沃尔什函数   其中，R(k+1,t)是任意拉德梅克函数，ik是自然

快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)

更新了 FWT-xor 地方关于底数选取的讨论。 \[c_x=\sum_{i\oplus j=x}a_ib_j \]当 \(\oplus\) 为 \(+\) 时，这个就是多项式乘法。 FMT/FWT 则是处理 \(\oplus\) 为 \(\rm{or,and,xor}\) 时的问题。 快速莫比乌斯变换和莫比乌斯函数/反演并无关系。 FMT 处理 \(\rm{or/and}\) 时的问

快速沃尔什变换（FWT）

FWT 熟知两个序列 \(A=\{a_i\}_{i=0}^n\)，\(B=\{b_i\}_{i=0}^n\) 的加法卷积为： \[c_i=\sum\limits_{j+k=i}^na_jb_k \]计算方式是： \[A^\prime=FFT(A),B^\prime=FFT(B) \\ C=A^\prime\times B^\prime,IFFT(C) \]那如果我们要计算or卷积，and卷积或是xor卷积呢？ 也就是说我们要计算： \[c_

[51Nod1773] A国的贸易 - 快速沃尔什变换

Description 给定一个长度为 \(2^n ( n \le 20)\) 的序列，编号从 \(0\) 开始，每次操作时，对于第 \(i\) 个数，他会加上所有下标为 \(j\) 的数（本轮操作之前的版本），其中 \(i,j\) 的二进制表示中有且仅有一位不同。求 \(t \le 10^9\) 次操作后的序列在 \(\bmod 10^9 + 7\) 下的结果。 Solut

位运算的诱惑，FFT摇身一变FWT（快速沃尔什变换）（未完待续）

目录 参考文献 例题 符号约定 通用思路 规律性 限制性 可行性 可分治性 矩阵 和运算 非运算 异或运算 代码 小结 未完待续 真的想点接触这个玩意。 cmd写的OI多项式

【模板】快速沃尔什变换

基本思路和代码写起来与 \(FFT\) 都极像。 比较重要的几个式子： or卷积 \(FWT(A_0,A_1)=(FWT(A_0),FWT(A_0+A_1))\) \(IFWT(A_0,A_1)=(IFWT(A_0),IFWT(A_0-A_1))\) and卷积 \(FWT(A_0,A_1)=(FWT(A_0+A_1),FWT(A_1))\) \(IFWT(A_0,A_1)=(IFWT(A_0-A_1),IFWT(A_1))\) xor卷积 \(FWT(A_

图像的波尔什-哈达玛变换

1 问题的提出 2 二维沃尔什-哈达玛变换 3 沃尔什-哈达玛变换的性质与应用

FWT快速沃尔什变换

前言 学多项式怎么能错过\(FWT\)呢，然而这真是个毒瘤的东西，蒟蒻就只会背公式了\(\%>\_<\%\) 或卷积 \[\begin{aligned}\\ tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))\\ utf(A) = (utf(A), utf(A_1) - utf(A_0))\\ \end{aligned}\] 与卷积 \[\begin{aligned}\\ tf(A) = (tf(A_0) + tf(A_1

FWT(快速沃尔什变换)简要讲解

写在前面 本蒟蒻很菜，所以这篇博客依然几乎不会有证明 还是先说这东西是干什么的 平时我们所见的卷积是这样的： \[ h(k) = \sum_{i + j = k} f(i) \cdot g(j) \] 但是偶尔还会遇到条件中的加号变成其它符号的情况，\(FWT\)就是这个符号是按位与，或，异时快速求解\(h\)的 主要的三种情况 其

浅谈算法——FWT(快速沃尔什变换)

其实FWT我啥都不会，反正就是记一波结论，记住就好…… 具体证明的话，推荐博客：FWT快速沃尔什变换学习笔记 现有一些卷积，形如 \(C_k=\sum\limits_{i\lor j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum\limits_{i\land j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum\limits_{i\oplus j=k}A_i*B_j\) 然后普通的FFT肯定应付不了这