[NOI Online #3 提高组]优秀子序列

传送


这题刚开始看到那么多式子，确实没啥思路。
但是再仔细想一想会发现挺有意思的。


因为\(b\)序列的限制，每一个\(b_i\)的二进制中的1必定只有他自己有，那么\(\sum b_i\)就是把他们按位与起来。
我们令\(dp[S]\)表示\(\sum b_i=S\)的\(b\)序列个数，那么答案就是\(dp(i) * \sum phi(i+1)\)。


考虑转移，我们枚举\(S\)，\(S\)的范围是\(0\)到\(a\)中最大的数所在的二进制位全是1的数。找到另一个数\(S'\)，且\(S' \& S=0\)，表示一个符合\(b\)序列构造方式的另一个数加入到了\(b\)中。那么转移就是\(dp[S | S'] += dp[S] * num[S']\)，\(num[S']\)表示数值为\(S'\)的\(a_i\)个数。


但这么做，\(S'\)并不是很好找，不能保证复杂度。所以我们换一种枚举方法：枚举\(S | S'\)，然后枚举他的子集\(X\)，那么\(X\)就是原来的\(S\)，\(S|S' - X\)就是原来的\(S'\)。
不过这么做还要防止重复枚举，那么循环的时候规定\(X \geqslant S|S'-S\)就行啦。


最后还剩一个尾巴，就是0怎么办，因为\(0\)可以加到任意序列中，那么如果有\(t\)个0，就把答案乘以\(2^t\)。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<queue>
#include<assert.h>
#include<ctime>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e6 + 5;
const int maxN = 4e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
In void MYFILE()
{
#ifndef mrclr
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
#endif
}

int n, Max = 0;

int prm[maxN], v[maxN], pcnt = 0;
int phi[maxN];
In void init()
{
	for(int i = 2; i < maxN; ++i)
	{
		if(!v[i]) v[i] = i, prm[++pcnt] = i, phi[i] = i - 1;
		for(int j = 1; j <= pcnt; ++j)
		{
			if(prm[j] >= maxN / i || prm[j] > v[i]) break;
			if(i % prm[j] == 0) phi[i * prm[j]] = phi[i] * prm[j];
			else phi[i * prm[j]] = phi[i] * phi[prm[j]];
			v[i * prm[j]] = prm[j];	
		}
	}
}

ll num[maxN], dp[maxN];
In ll ADD(ll a, ll b) {return a + b > mod ? a + b - mod : a + b;}

int main()
{
//	MYFILE();
	init();
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		int x = read();
		num[x]++, Max = max(Max, x);
	}
	int s = 0;
	while((1 << s) < Max) ++s;
	dp[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= (1 << s); ++i)
		for(int j = i; j >= i - j; j = (j - 1) & i)
			dp[i] = ADD(dp[i], dp[i - j] * num[j] % mod);
	ll ans = 1;
	for(int i = 1; i <= (1 << s); ++i) ans = ADD(ans, dp[i] * phi[i + 1] % mod);
	for(int i = 1; i <= num[0]; ++i) ans = (ans << 1) % mod;
	write(ans), enter;
	return 0;
}

标签：NOI,int,ll,prm,maxN,Online,序列,include,dp
来源： https://blog.51cto.com/u_15234622/2831573