5003：同元素分类问题&特定条件下多元一次不定方程的解个数问题
作者：互联网
镇楼图
Pixiv:黒裄
同元素分类问题
①隔板法（\(I\)∈\(N_+\)）
例：将10个一样的小球放置在3个盒子里，每个盒子里至少放\(1\)个，有几种放法？
我们设\(X\)为第\(1\)个盒子里小球的数量，\(Y\)为第\(2\)个盒子里小球的数量，\(Z\)为第\(3\)个盒子里小球的数量
我们可以用\(2\)块隔板来分成\(3\)个盒子
| 盒子1 | 盒子2 | 盒子3 |
|---|
隔板之间的距离即为这个盒子内的元素数
\(10\)个小球，我们有\(9\)个位置可以插入，因此结果为\(C(9,2)\)
我们把这些盒子的元素数看成一个变量
我们可以得出一个多元一次方程
\(x+y+z=10 \ \ \ x,y,z∈N_+\)
这样我们不仅可以从直观的分类问题上讨论，也可以从一个方程上讨论
②隔板法（\(I\)∈\(N\)）
例：将10个一样的小球放置在3个盒子里，有几种放法？
这个方程还是\(x+y+z=10\)
但这时候我们不对每一个盒子放置的元素进行限制，因此这时候这个方程的定义域不再是\(N_+\)而是\(N\)
放置数依然是\(2\)个隔板，但可放的位置有\((元素数+隔板数)\)个
所以结果是\(C(10+2,2)\)
③限制定义域下的情况
例：将10个一样的小球放置在3个盒子里，第\(1\)个盒子至少有2个小球，第\(2\)个盒子至少有3个小球，有几种放法？
我们得出方程
\(x+y+z=10 \ \ \ x,y,z∈N，x≥2，y≥3\)
这时候我们该怎样计算？
我们可以先放2个小球到第\(1\)个盒子里，放\(3\)个小球到第\(2\)个盒子里，这样我们的小球就只剩下\(5\)个
我们能这么放的原因就是我们所讨论的分类问题的元素的一个特性是相同，每一个元素都一样，我先放几个也不影响最终结果。
现在我相当于将问题转化成了：
将\(5\)个一样的小球放置在3个盒子里，有几种放法？
这时候就好求了，我们可以通过先放几个元素的方法将问题转换成第一种或者第二种
类似的问题比如：我买了2箱48包牛奶，每天至少会喝2包，根据我每天喝牛奶包数的不同，我有多少种方法喝完这2箱牛奶？
特定条件的多元一次不定方程解个数
我们将分类问题的集合转换成了一个变量，这个变量的值即为这个集合所存在的元素数
但从另外一个角度来说，我们就可以直接用隔板法解决这个方程的问题，但这个方程也存在一些约束条件
■这个方程必须是\(a+b+...+n=C\)的形式
也就是这个方程中所有变量的系数必须为1
■所有涉及到的量的范围必须是\(N\)或者是其子集
遇到类似的算法题我们可以很快地用组合数来求解这个算法题
总结
这一个小算法主要是从数学角度解决同元素的分类问题以及求特定条件下多元一次方程解个数的问题
参考书籍
《离散数学及其应用 第六版》
标签：5003,10,方程,盒子,隔板,小球,元素,个数,特定条件 来源： https://www.cnblogs.com/AlienfronNova/p/14810594.html