The Luckiest number(同余+欧拉定理)
作者：互联网
单词小讲堂
consist 组成
multiple 倍数
construct 构建，构造
题目大意
这个题的意思就是说，中国人认为8是吉祥数，当然了鲍勃有自己的吉祥数L，但是鲍勃喜欢中国女生，所以希望自己的吉祥数L的倍数可以是8888888……（n个8），下面给出一些L请你找出这些8的最小位数，如果不行，输出0即可！
思路
公式预警！！
考虑到
8888888
…
…
=
(
100000000000
…
…
−
1
)
∗
8
9
8888888……=(100000000000……-1)*\frac{8}{9}
8888888……=(100000000000……−1)∗98
因此这道题就可以表示为
L
∣
8
9
∗
(
1
0
y
−
1
)
L|\frac{8}{9}*(10^y-1)
L∣98∗(10y−1)
9
L
∣
8
∗
(
1
0
y
−
1
)
9L|8*(10^y-1)
9L∣8∗(10y−1)
两边同时除以
g
c
d
(
9
L
,
8
)
gcd(9L,8)
gcd(9L,8)
9
L
g
c
d
(
9
L
,
8
)
∣
8
g
c
d
(
9
L
,
8
)
∗
(
1
0
y
−
1
)
\frac{9L}{gcd(9L,8)}|\frac{8}{gcd(9L,8)}*(10^y-1)
gcd(9L,8)9L∣gcd(9L,8)8∗(10y−1)
那么现在
9
L
g
c
d
(
9
L
,
8
)
和
8
g
c
d
(
9
L
,
8
)
\frac{9L}{gcd(9L,8)} 和\frac{8}{gcd(9L,8)}
gcd(9L,8)9L和gcd(9L,8)8互质
因此
9
L
g
c
d
(
9
L
,
8
)
∣
(
1
0
y
−
1
)
\frac{9L}{gcd(9L,8)}|(10^y-1)
gcd(9L,8)9L∣(10y−1)结果就是
y
y
y的最小值
为嘛？因为
8
g
c
d
(
9
L
,
8
)
\frac{8}{gcd(9L,8)}
gcd(9L,8)8是小于
10
10
10的数，因此位数就是
y
y
y的值。
令
n
=
9
L
g
c
d
(
9
L
,
8
)
n=\frac{9L}{gcd(9L,8)}
n=gcd(9L,8)9L
转化成为了
k
∗
n
=
1
0
y
−
1
k*n=10^y-1
k∗n=10y−1
啊，这不就是我们的同余公式嘛
1
0
y
≡
1
(
m
o
d
n
)
10^y≡1(mod n)
10y≡1(modn)
好了，现在我们只需要求
y
y
y的值就可以了！
下面我们介绍拓展欧拉定理的一个小结论
若正整数 a , n a,n a,n互质，则满足 a x ≡ 1 ( m o d n ) a^x≡1(mod n) ax≡1(modn)的最小正整数 x 0 x_0 x0是 φ ( n ) φ(n) φ(n)的约数
那么我们现在逐一枚举 φ ( n ) φ(n) φ(n)的因子，就可以了。（需要快速幂优化）
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll phi(ll x)
{
ll res = x;
for (ll i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
{
res = res / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}
ll gcd(ll a,ll b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll qmi(ll m, ll k, ll p)
{
ll res = 1 % p, t = m;
while (k)
{
if (k&1) res = res * t % p;
t = t * t % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
int main(){
ll n,t=0;
while(cin>>n&&n){
ll k=gcd(9*n,8);
//if(k==1){
// cout<<"Case "<<++t<<": 0\n";
// continue;
//}
ll p=9*n/k;
if(gcd(p,10)!=1){
cout<<"Case "<<++t<<": 0\n";
continue;
}
ll e=phi(p);
int ju=0;
for(ll i=1;i<=e/i;i++){
if(e%i==0&&qmi(10,i,p)==1){
printf("Case %lld: %lld\n",++t,i);
ju=1;
break;
}
}
if(ju)continue;
for(ll i=sqrt(e);i>=1;i--){
if(e%(e/i)==0&&qmi(10,e/i,p)==1){
printf("Case %lld: %lld\n",++t,e/i);
break;
}
}
}
}
标签：Luckiest,10,frac,gcd,res,ll,number,同余,9L 来源： https://blog.csdn.net/m0_51841071/article/details/116664690