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概率论的基本概念（BASIC NOTATIONS OF PROBABILITY THEORY）

2021-05-10 14:02:00 作者：互联网

▲正在更新中▲

$\Omega$ :所有基本事件（elementary events）组成的集合

$\omega \in \Omega$ , $\mathcal{F} \subset \Omega$ :集族（family）

一个集族 $\mathcal{F}$ 被称为 $\sigma$ 代数（ $\sigma-algebra$ ），当它满足以下3个条件：

（1）（空集） $\varnothing \in \mathcal{F}$ ;

（2）（余集） $A\in\mathcal{F} \Rightarrow A^{C}\in\mathcal{F}$ ;

（3）（可数并） ${\left\{ A_{i} \right\}}_{i\geq1}\subset\mathcal{F}\Rightarrow\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\in\mathcal{F}$ .

//下文中的 $\mathcal{F}$ 均满足以上条件。

$\sigma(\mathcal{C})$ : 在 $\Omega$ 上包含 $\mathcal{C}$ 的最小的σ代数，其中 $\mathcal{C}$ 是 $\Omega$ 的一族子集

$\sigma (X_i:i\in I)=\sigma(\bigcup_{i\in I}\sigma(X_{i}))$

可测空间（measurable space）： $(\Omega,\mathcal{F})$

$\mathcal{F}$ 可测集（F-measurable sets）： $\mathcal{F}$ 的元素（代替events的说法）

Borel可测函数（Borel measurable function）： $\mathcal{B}^d-measurable$ 函数，若可测空间是 $(R^d,\mathcal{B}^d)$

Borel代数（Borel $\sigma-algebra$ ）: ${\mathcal{B}}^{d}=\sigma(\mathcal{C})$ ，即取 $\Omega=\mathcal{R}^{d}$ ， $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{R}^{d}$ 中所有开集的集族

Borel集（Borel sets）:Borel代数的元素

$\mathcal{F}$ 可测（ $\mathcal{F}-measurable$ ）：

（1)实值函数 $X:\Omega \rightarrow R$

若对于所有的 $a \in R$ ，有 $\left\{ \omega:X(\omega \leq a) \right\} \in \mathcal{F}$ .

（2） $X(\omega)=({X_{ij} (\omega)})_{d\times m}$

若所有的元素 $X_{ij}$ 都是 $\mathcal{F}$ 可测的.

（3）示性函数（indicator function） $I_A$

若 $A$ 是 $\mathcal{F}$ 可测的，即 $A \in \mathcal{F}$ .

$(\mathcal{F-F'})$ 可测（ $(\mathcal{F-F'})-measurable$ ）：

$(\Omega,\mathcal{F})$ 和 $(\Omega',\mathcal{F'})$ 都是可测空间，映射 $X:\Omega \rightarrow \Omega'$ ，若对于所有的，有 $\left\{ \omega:X(\omega)\in A' \right\} \in \mathcal{F}$ .

//实变函数中的Lebesgue可测函数：定义在可测集上的，任意给定的 $a\in \mathbb{R}$ ，有集合 $\left\{ f>a\right\}$ 是可测的.

在可测空间 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的函数 $P: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ ，称为是概率测度（probability measure），当它满足以下2个条件：

（1） $P({\Omega})=1$ ;

（2）对于任何不相交的数列（disjoint sequence） ${\left\{ A_i \right\}}_{i\geq1} \subset \mathcal{F}$ ，有 $P(\cup _{i=1}^{\infty}A_i)=\Sigma_{i=1}^{\infty} P(A_i)$ .

概率空间： $(\Omega, \mathcal{F}, P)$

$\mathcal{F}$ 的完备集（the completion of $\mathcal{F}$ ）： $\bar{ \mathcal{F}}=\left\{ A \subset \Omega :\exists B,C \in \mathcal{F} \quad s.t. \quad B\subset A \subset C , P(B)=P(C) \right\}$ ，且 $\bar{ \mathcal{F}}$ 是 $\sigma$ 代数.

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 的完备空间（the completion of $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ）： $(\Omega, \mathcal{\bar{F}}, P)$

若 ${ \mathcal{F}}=\bar{ \mathcal{F}}$ ，则概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是完备的（complete）.

三大不等式：

（1）Holder’s inequality

若 $p>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, X \in L^p, Y \in L^q$ ，则 $|E(X^T Y)| \leq (E|X|^p)^\frac{1}{p} (E|Y|^q)^\frac{1}{q}$ .

（2）Minkovski’s inequality

若 $p>1,X,Y, \in L^p$ ，则 $|E(X+Y)^p|^\frac{1}{p} \leq (E|X|^p)^\frac{1}{p} +(E|Y|^p)^\frac{1}{p}$ .

（3）Chebyshev’s inequality

若 $c>0,p>0,X\in L^p$ ，则 $P \left\{ \omega: |X(\omega)|\geq c \right\} \leq c^{-p}E|X|^p$ .

// $P(|X-EX| \geq \varepsilon ) \leq \frac{DX}{\varepsilon ^2}$

收敛概念convergence concepts

（1）几乎处处收敛（converge to X almost surely or with probability 1）

若存在一个概率为0（P-null）的集合 $\Omega_0 \in \mathcal{F}$ ，使得 $\forall \omega \notin \Omega_0$ ，在 $R^d$ 上，in the usual sense， $\left\{ X_k(\omega) \right\}$ 收敛于 $X(\omega)$