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[CF1503C]Travelling Salesman Problem

作者:互联网

壹、题目描述 ¶

传送门 to CF

贰、题解 ¶

真的一个脑瘫题,我还往线段树优化建图想......

首先注意到,其实从哪个点出发都一样,因为我们最后反正要走一个哈密顿回路出来。

我们得将 \(\max\{c_i,a_j-a_i\}\) 改写一下,有

\[\max\{c_i,a_j-a_i\}=c_i+\max\{0,a_j-a_i-c_i\} \]

由于我们每个点都要经过一次,所以我们可以先忽略 \(c_i\),最后将答案加上 \(\sum c_i\) 即可。

现在我们想要最小化 \(\max\{0,a_j-a_i-c_i\}\).

首先可以将原序列按照 \(a_i\) 升序排列,然后我们就有了两种解法。

§ 建图最短路 §

一定有 \(j\rightarrow i(j>i)\) 的花费为 \(0\),所以我们就有了第一种边:连接所有 \(i+1\rightarrow i\),权值为 \(0\).

不仅仅这种边是免费的,还有 \(a_j-a_i-c_i\le 0\) 的边。

本来我们需要连接所有这样的、满足条件的点对,但是由于第一种边的存在,我们只需要连接最大的 \(a_j\) 的点,就可以覆盖所有的点了,而这个最大的 \(j\) 怎么找呢?二分查找是个好办法!

但是我们还要走付费边啊,我们找到了 \(j\),那么从 \(i\rightarrow j+1\) 的就得是付费边了吧,我们将这样付费相邻的点串起来,就达到了类似第一种边的效果。这是第三种边。

把这三种边全部连起来,直接上 \(\tt dijkstra\) 就行了。

§ 左右端点想法 §

将 \(a_i\) 排序之后,答案就是:

\[\sum_{i=2}^n\max\{0,a_i-\max_{j<i}\{a_j+c_j\}\} \]

这很简单吧?但是为什么是这样的啊?对于 \(i\),我们将其看作 \(\lang l_i,r_i\rang=[a_i,a_i+c_i]\) 的区间,那么问题就抽象为:从区间 \(i\) 走到 \(j\),你需要花费的是 \(\max\{0,l_j-r_i\}\),也就是后一个区间的左端点和前一个区间的右端点的差值,或者 \(0\),问经过所有区间的最小花费,将区间按照左端点排序之后,最优的就是从最大的右端点开始走,走到下一个区间,而从最后一个区间走回 \(1\) 呢?显然有 \(r_n\ge l_1\),那里的花费就是 \(0\),所以我们只需要计算上面的式子就行了......时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\).

叁、参考代码 ¶

没写第一种,写的第二种 因为它很短

#define Endl putchar('\n')
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define rep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i<=i##_end_; ++i)
#define fep(i, l, r) for(int i=(l), i##_end_=(r); i>=i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
template<class T>inline T fab(T x){ return x<0? -x: x; }
template<class T>inline T readin(T x){
	x=0; int f=0; char c;
	while((c=getchar())<'0' || '9'<c) if(c=='-') f=1;
	for(x=(c^48); '0'<=(c=getchar()) && c<='9'; x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	return f? -x: x;
}

const int maxn=1e5;

struct node{
	int a, c;
	node(){}
	node(int A, int C): a(A), c(C){}
	inline int operator <(const node rhs) const{
		return a<rhs.a;
	}
}p[maxn+5];

int n;

inline void input(){
	n=readin(1);
	int a, c;
	rep(i, 1, n){
		a=readin(1), c=readin(1);
		p[i]=node(a, c);
	}
	sort(p+1, p+n+1);
}

signed main(){
	input();
	int maxx=p[1].a+p[1].c; ll ans=p[1].c;
	rep(i, 2, n){
		ans=ans+max(0, p[i].a-maxx);
		maxx=max(maxx, p[i].a+p[i].c);
		ans+=p[i].c;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

肆、用到 の Trick

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来源: https://www.cnblogs.com/Arextre/p/14726661.html