莫反 复习

模拟赛考了一道莫反结果只写了低档暴力

定义完全积性函数：定义域在\(>0\)的自然数内。
有\(f(ab)=f(a)f(b)\)
例子：\(f(a)=a\)

定义积性函数：如果\((a,b)=1,f(ab)=f(a)f(b)\)
推论：设\(a\)的唯一分解：\(p_1^{b1}p_2^{b2}...p_n^{bn}\)，则\(f(a)=f(p_1^{b1})f(p_2^{b2})...f(p_n^{bn})\)

积性函数的求法：线性筛。
在遍历所有倍数的过程中：
要求当\(i\mod p=0\)时，则\(f(ip)\)的值能够被算出。
当\(i\mod p\neq 0\)时，按照积性函数的性质计算\(f(ip)\)
所以线性筛法要求：在质数处的取值能够快速算出，一个数和质数的乘积的函数值可以快速算出。
事实上，根据素数定理，我们只需要做\(\frac{n}{\log_2n}\)次函数在质数处的求值。
这使得我们可以在几乎线性的时间内求出所有\(i^k\)。

定义两个函数的dirchlet卷积：\(h(n)=\sum f(\frac{n}{i})g(i)\)
其中\(i|n\)

定义mobius函数\(u\)。
它的函数值：
当\(a=1\)，\(u(a)=1\)
设\(a\)的唯一分解：\(p_1^{b1}p_2^{b2}...p_n^{bn}\)
当\(b_1=b_2=...=b_n=1\)，则\(u(a)=(-1)^n\)
否则\(u(a)=0\)
这事实上满足上面筛法对与积性函数的约定，所以可以线性筛求出。

定义dirchlet前缀和：\(b(n)=\sum a(\frac{n}{i})\)，其中\(i|n\)
它有两种做法：
做法1：枚举\(a(x)\)，贡献到\(x\)的倍数。
时间复杂度\(O(n\log_2n)\)
做法2：魔力筛

void si(int *a){
	for(int i=1;p[i]<=n;i++)
		for(int j=1;j*p[i]<=n;j++)
			a[j*p[i]]+=a[j];
}

\(p\)是素数表。
考虑\(j\)的唯一分解，发现事实上它是在按照质数从小到大的顺序做高维前缀和。
这就证明了它的正确性
可以证明时间复杂度是\(O(n\log_2\log_2n)\)

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来源： https://www.cnblogs.com/ctmlpfs/p/14707324.html