P6254 [ICPC2019 WF]Circular DNA
作者：互联网
校内 ICPC 模拟赛考到了此题，考完后发现考场代码喜提本体最优解 （虽然本来就没几个提交）。这道题很多人都是用 <set> 设计的 \(O(nlogn)\) 的算法，这里就介绍一个 \(O(n)\) 的算法。
题目分析
这个题面不是很好懂，校内赛中因为不明确 \(s\)，\(e\) 后面数字的意思耽误了很长时间。字母后面跟的这个数字是基因的编号，编号相同的基因是同种基因，可以认为每种基因都是独立的，\(s1\)，\(e1\) 之间就算有再多其它种类的基因也不影响 \(s1\) 和 \(e1\) 的匹配。
注意断开的位置 \(p\) 的意思是在第 \(p\) 个基因前面切割。
顺着当时做这道题的思路，我们来循序渐进地做这道题。
真核生物
众所周知，原核生物的 DNA 是环状的，但是显然环状 DNA 比真核生物的链状 DNA 复杂，所以先考虑链状 DNA 的完美匹配种数。
将 \(s\) 看出上括号，权值为 \(1\)，\(e\) 看成下括号，权值为 \(-1\)，这就是一个括号匹配问题。将同种基因求权值的前缀和。由于每个编号的基因互不影响，所以不同编号基因的前缀和分别记录。
对于权值总和不等于 \(0\) 的编号，无论怎么切都切不出完美匹配的情况。对于总和等于 \(0\) 的编号，至少有一种切法可以使它完美匹配。
一个编号的基因是完美匹配的条件有两个，一个是总和等于零，另一个是任何时候前缀和大于等于 \(0\)，只要维护这个编号的前缀和的最小值即可。
所以对于真核生物，只要扫一遍 DNA 链，过程中统计权值总和和前缀和最小值，最后枚举所有编号，统计满足上面两个条件的编号数量即可。时间复杂度 \(O(n)\)。
\(O(n^2)\)
在考场上，有时需要先打复杂度高的算法然后再尝试优化，既减少了思考更优算法的难度，也能给这个题的得分兜底（当然 ACM 没有部分分）。
对于环形问题一般解法是断环为链，将环断成链后复制一份接在原来的链后面。
具体操作是在外层循环枚举断点，对于每个断点 \(i\)，都有 \([i, i + n - 1]\) 是以 \(i\) 为断点切开的 DNA 链。每个断点跑一遍链式 DNA 的算法即可，复杂度 \(O(n^2)\)。
递推
先跑一遍真核生物的算法，考虑如何递推地求出每个断点的情况。
考虑断点向右移动，会有哪些影响？
显然是 DNA 左端基因接到右端去。假设这个基因编号是 \(x\)，则容易知道这次断点的移动只影响 \(x\) 这一种编号的基因，因为其他编号的基因的相对位置不变。
前面已经说明，如果 \(x\) 编号的所有基因权值总和不是 \(0\)，无论断点如何，永远不会完美匹配，所以只要这时左端基因的权值总和不是 \(0\)，直接跳到下一个断点即可。
规定编号 \(x\) 的基因的权值总和为 \(Sum_x\)，本断点（端点不同前缀和最小值不同）的前缀和最小值为 \(Low_x\)，当前完美匹配数量为 \(Tmp\)。
如果 \(Sum_x = 0\)，那么这个编号的基因有可能是完美匹配（第一个条件符合）。一个基因的位置移动不影响这个编号的基因的权值总和。所以只要看移动这个基因后对 \(Low_x\) 的影响如何即可。
对左端的基因分类讨论。
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这个基因是 \(sx\)
这是一个左括号，它在左端时给所有前缀和提供了一个加数 \(1\)，所以去掉它后，所有位置上，编号 \(x\) 的基因权值前缀和都减少 \(1\)，\(Low_x\) 也必然减少 \(1\)。
因为 \(Sum_x = 0\)，所以前缀和最小值最大情况是 \(0\)，所以移动后的第 \(x\) 种基因的前缀和最小值一定小于等于 \(-1\)，不可能完美匹配。
修改 \(Low_x\) 之前，对于原本 \(Low_x = 0\) 的情况，失去了一个完美匹配，所以这一轮的最多匹配数量是 \(Tmp - 1\)。
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这个基因是 \(ex\)
这是一个右括号，它在左端时给所有前缀和提供了一个加数 \(-1\)，所以去掉它后，所有位置上，编号 \(x\) 的基因权值前缀和都增加 \(1\)，\(Low_x\) 也必然增加 \(1\)。
给 \(Low_x\) 加 \(1\) 后，就有可能出现 \(Low_x = 0\) 的情况，这时出现一个新的完美匹配 \(x\)（在此之前 \(Low_x = -1\)，不是完美匹配），及时更新 \(Tmp\) 为 \(Tmp + 1\)。
枚举断点同时统计 \(Tmp\)，并且对于每个断点，尝试更新所有断点中最优的匹配数量 \(Ans\) 和断点 \(Pos\)。因为在 \(Tmp\) 相同时，优先输出小的断点，所以只有 \(Tmp > Ans\) 时更新两个变量，最后直接输出 \(Pos\) 和 \(Ans\) 即可。
因为只是简单地扫上常数次序列，所以显然时间复杂度是 \(O(n)\)。
注意
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在 \(sx\) 情况，先判断 \(Low_x = 0\)，再修改 \(Low_x\)；在 \(ex\) 的情况，先更新 \(Low_x\)，再判断 \(Low_x = 0\)。
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枚举断点时只考虑左端点，所以这种算法不用复制一遍原序列接在后面，直接在原序列中找左端点即可。
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代码中为了方便设计程序，枚举的断点 \(i\) 的意义和 \(p\) 不同。\(i\) 的意义是在第 \(i\) 个基因后面断，\(p\) 的意义是在第 \(p\) 个基因前面断。
代码
一些细节都在代码注释中，应该会很好懂吧。
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#define Wild_Donkey 0
using namespace std;
inline unsigned RD() {
unsigned intmp = 0;
char rdch(getchar());
while (rdch < '0' || rdch > '9') {
rdch = getchar();
}
while (rdch >= '0' && rdch <= '9') {
intmp = intmp * 10 + rdch - '0';
rdch = getchar();
}
return intmp;
}
unsigned n, Cnt(0), Ans(0), Tmp(0), List[1000005], Pos(0);
char Character;
int Sum[1000005], Low[1000005];
struct DNA {
unsigned Number; // 编号
int SE; // s or e, 即权值
}a[1000005];
int main() {
n = RD();
for (register unsigned i(1); i <= n; ++i) { // 读入
Character = getchar();
while (Character != 's' && Character != 'e') {
Character = getchar();
}
if(Character == 's') { // 上括号
a[i].SE = 1;
}
else { // 下括号
a[i].SE = -1;
}
a[i].Number = RD();
if(!Low[a[i].Number]) { // 这个编号的基因首次出现
Low[a[i].Number] = 1; // 打标记表示这个编号的基因出现过
List[++Cnt] = a[i].Number; // 记录在基因列表中
}
}
Pos = 1;
for (register unsigned i(1); i <= n; ++i) {
Sum[a[i].Number] += a[i].SE; // 累计总和
Low[a[i].Number] = min(Low[a[i].Number], Sum[a[i].Number]); // 更新前缀和历史最小值
}
for (register unsigned i(1); i <= Cnt; ++i) {// 真核生物 (枚举基因编号)
if(Low[List[i]] == 0 && Sum[List[i]] == 0) {// 同时满足两个条件
++Tmp;
}
}
Pos = 1, Ans = Tmp; // 对于真核生物的运行结果
for (register unsigned i(1); i < n; ++i) { // 枚举断点, 这里是从 i 后面切断, 所以原左端基因是 a[i]
if(!(Sum[a[i].Number] ^ 0)) { // 优化常数, 等价于 if(Sum[a[i].Number] == 0)
if(a[i].SE ^ (-1)) { // 优化同上, 这是 sx 的情况
if(!(Low[a[i].Number] ^ 0)) { // 原本完美, 修改后不完美了
--Tmp;
}
--Low[a[i].Number]; // 最后修改 Low[x]
}
else { // 这是 ex 的情况
++Low[a[i].Number]; // 先修改 Low[x]
if(!(Low[a[i].Number] ^ 0)) { // 原本不是完美匹配, 但是现在完美了
++Tmp;
}
}
}
if(Tmp > Ans) { // 新断点严格优于原先才更新
Pos = i + 1;
Ans = Tmp;
}
}
printf("%u %u", Pos, Ans);
return Wild_Donkey;
}
鸣谢 & 后记
感谢 @巴菲特 踩了我的考场代码，但是幸好我用一发新的提交守住了最优解（当然这种题的最优解没什么用，是个人随便卡卡常就能比我快）。算法竞赛中人们以 A 题为目的，很少有人有能快则快能省则省的工程精神。但是追求完美的精神却让我受益匪浅，希望 OI 能给每个人留下受益终身的财富而不仅是名校的垫脚石。
标签：WF,DNA,前缀,权值,基因,Low,编号,断点,Circular 来源： https://www.cnblogs.com/Wild-Donkey/p/14672727.html