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极值与凹凸性及简单例题

作者:互联网

文章目录

一 单调性与极值

1.1 单调性

y = f(x) 在D上有定义。x1,x2∈D且x1<x2

1.2 极值点

x0极大值点:x = x0 处左右去心邻域函数值<f(x0)

x0极小值点:x = x0 处左右去心邻域函数值>f(x0)

单调性判别法

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注解

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1.3 极值点判断步骤

不可导点的四种情况

可导点的充要条件 左右导数存在且相等

驻点:一阶导数=0

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第二充分条件(1)中 f’(x0) = 0 f’’(x0)>0,根据二阶导数的定义可以得知,在x0邻域内f‘(x)=0为最小值,即x0两边一阶导数大于0,由此可以得 x = x0 处左右去心邻域函数值>f(x0),因此x0为极小值点。

二 凹凸性与拐点

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凹凸性判别法

凹: 二阶导数 > 0。一阶导数变大 => 增加变快/减少变慢 => 曲线有向上的趋势

凸: 二阶导数 < 0。一阶导数变小 = >增加变慢/减少变快 => 曲线有向下的趋势

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拐点表明该点左右两侧的图像凹凸性不同,不能单纯使用二阶导数为0作为判断条件,关键还要看该点两侧的二阶导数是否异号

扩展

三 渐近线

3.1 水平渐近线

若 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A 若 \lim_{x \rightarrow ∞}f(x) = A 若x→∞lim​f(x)=A

称 y = A 为L:y=f(x)的水平渐近线

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函数图像可能没有水平渐近线,但是最多只有两条水平渐近线

3.2 铅直渐近线

若 lim ⁡ x → a f ( x ) = ∞ 或 f ( a ± 0 ) = ∞ 若 \lim_{x \rightarrow a}f(x) = ∞ 或 f(a±0)= ∞ 若x→alim​f(x)=∞或f(a±0)=∞

则称x = a为曲线y=f(x)的铅直渐近线

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出现在函数无定义处,即间断点

若x=a是f(x)的铅直渐近线则x=a是y=f(x)的间断点,反之不一定。

3.3 斜渐近线

若 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) x = a ( ≠ 0 , ∞ ) , lim ⁡ x → ∞ [ f ( x ) − a x ] = b 称 y = a x + b 为 y = f ( x ) 的 渐 近 线 \begin{aligned} &若\lim_{x \rightarrow ∞}\frac{f(x)}{x} = a(\neq 0,∞) ,\lim_{x \rightarrow ∞}[f(x) - ax] = b \\ &称y = ax + b 为y=f(x)的渐近线 \end{aligned} ​若x→∞lim​xf(x)​=a(​=0,∞),x→∞lim​[f(x)−ax]=b称y=ax+b为y=f(x)的渐近线​

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四 弧微分与曲率

4.1 弧微分基本公式

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( Δ s ) 2 = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ( d s ) 2 = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = 1 + ( d y d x ) 2 = 1 + f ′ 2 ( x ) d x \begin{aligned} & (Δs)^2 = (Δx)^2 + (Δy)^2 \\ & (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 \\ & \begin{aligned} ds = &\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} \\ = &\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} \\ = &\sqrt{1+f'^2(x)}dx \end{aligned} \end{aligned} ​(Δs)2=(Δx)2+(Δy)2(ds)2=(dx)2+(dy)2ds===​(dx)2+(dy)2 ​1+(dxdy​)2 ​1+f′2(x) ​dx​​

4.2 曲率与曲率半径

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五 基础例题

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六 接力题典

6.1 入门

6.2 基础

6.3 提高

标签:导数,lim,极值,二阶,dx,x0,例题,性及,渐近线
来源: https://blog.csdn.net/qq_16183037/article/details/115442414