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「JSOI2007」文本生成器题解

2021-02-11 16:02:22 作者：互联网

A 题面

JSOI 交给队员 ZYX 一个任务，编制一个称之为“文本生成器”的电脑软件：该软件的使用者是一些低幼人群，他们现在使用的是 GW 文本生成器 v6 版。

该软件可以随机生成一些文章——总是生成一篇长度固定且完全随机的文章。也就是说，生成的文章中每个字符都是完全随机的。如果一篇文章中至少包含使用者们了解的一个单词，那么我们说这篇文章是可读的（我们称文章 $s$ 包含单词 $t$，当且仅当单词 $t$ 是文章 $s$ 的子串）。但是，即使按照这样的标准，使用者现在使用的 GW 文本生成器 v6 版所生成的文章也是几乎完全不可读的。ZYX 需要指出 GW 文本生成器 v6 生成的所有文本中，可读文本的数量，以便能够成功获得 v7 更新版。你能帮助他吗？

答案对 $10^4+7$ 取模。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示使用者了解的单词总数 $n$ 和生成的文章长度 $m$。

接下来 $n$ 行，每行一个字符串 $s_i$，表示一个使用者了解的单词。

输出格式

输出一行一个整数表示答案对 $10^4 + 7$ 取模的结果。

样例

输入：

2 2
A
B

输出：

数据规模

对于 $100% $ 的测试点，保证：

$1\leq n\leq 60 , 1\leq m\leq 100$
$1\leq |s_i|\leq 100$
$s_i$ 中只含大写英文字母

B 解题

简化题意：给定一些模式串，求长度为 $m$ 的所有文本串的个数，且该文本串至少包括一个模式串，答案对 $10007$ 取模。

彩笔wyb开始考虑直接求文本串数量：暴力是怎么做呢...嗯...~~枚举 $m$ 个字符~~ ，组合数学？容斥原理？@#￥%……&*，等等，容斥？

于是发现答案可以是所有串的个数减去不包含可读串的串的个数。

所有串的个数十分明显，就是 $26^m$ ，接下来的问题是求不可读串个数

拆分问题：假设我们只有一个单词，怎么做？

我们可以对单词做一个 KMP ，设 $F[i,j]$ 为已构成长度为 $i$ ,单词匹配到位置 $j$ 的,且没有一次匹配完全的方案数。显然,转移方程是:

$F[i,j] \to F[i+1,j\text{或者其FAIL链的某个位置}+1]$

此时，最后答案为 $26^m-\max(F[m,i]|i\in[1,|\text S|])$

回到问题：多个单词

我们知道 AC 自动机可以理解为 KMP 算法的扩大版，于是正解思路已出：AC自动机+DP

令 $dp[i][j]$ 表示构成的文本串长为 $i$，在 $Trie$ 上走到编号为 $j$ 的节点的不可读个数。

如果走到节点 $j$ 的儿子 $k$ 这个节点（$trie[j][k])$ 得到串依然是不可读的，

那么就可以从 $dp[i][j] $ 转移到 $dp[i+1][trie[j][k]] $。

也就是：$dp[i+1][trie[j][k]]+=dp[i][j] $

这个时候不需要想 KMP 那样跳 $next$ 的原因是我们改变了 $Trie$ 树使它成为图

随之出现的问题是如何判断走到点 $j$ 的串是否不可读，回顾一下我们可读的定义：

如果一篇文章中至少包含使用者们了解的一个单词，那么我们说这篇文章是可读的

也就是说，如果节点 $j$ 的身上有 $end$ 标记，那么它不可读。

这里有一个易错点：若一个点的失配指针（$fail$) 链里存在某个单词的 end标记 ,显然这个点是GG的

简单分析时间复杂度：建树 $O(\Sigma|S|)$ + BFS 求 $fail$ $O(\Sigma|S|)$ + DP两重主要循环 $O(m\Sigma|S|)$ = $(m\Sigma|S|)$ 级别（附常数 26）可过

空间复杂度 $\Sigma|S|$

这个算法是可过的！最后，考虑 DP 的初始状态：$dp[0][1]=1$ 什么都没有显然是1，注意作者的 $Trie$ 树标号从1开始。

答案为 $26^m-\Sigma_{1<=i<=size} dp[m][i]$

C 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 111;
const int mod = 10007;

int n,m,size=1;
int t[N*N][27],f[N*N];//trie和fail
int dp[N][N*N];
bool ed[N*N];//end标记
char s[N];

void insert(char *s){
    int u=1,len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++){
        int ch=s[i]-'A';
        if(!t[u][ch])t[u][ch]=++size;
        u=t[u][ch];
    }
    ed[u]=1;
}

void bfs(){
	//这个求fail的写法好像和大家的不一样，仔细看看也是对的
    for(int i=0;i<26;i++)t[0][i]=1;
    queue<int>q;
    q.push(1);
    while(q.size()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=0;i<26;i++){
            if(t[u][i]){
                f[t[u][i]]=t[f[u]][i];
                q.push(t[u][i]);
                if(ed[f[t[u][i]]])ed[t[u][i]]=1;//如果fail可读，自己也可读
            }else t[u][i]=t[f[u]][i];
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s);
        insert(s);
    }
    bfs();
    dp[0][1]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=size;j++){
            for(int k=0;k<26;k++){
                if(!ed[t[j][k]]){
                    dp[i][t[j][k]]=(dp[i][t[j][k]]+dp[i-1][j])%mod;
                }
            }
        }
    }//就不压行
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=size;i++){
        ans=(ans+dp[m][i])%mod;
    }
    int sum=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){//这里可用快速幂
        sum=(sum*26)%mod;
    }
    printf("%d",(sum-ans+mod)%mod);//小心复数
    return 0;
}

D 参考

https://www.luogu.com.cn/blog/_post/62345

标签：JSOI2007,int,题解,生成器,单词,leq,文本,Sigma,dp
来源： https://www.cnblogs.com/wyb-sen/p/14397809.html

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