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[POI2006]OKR-Periods of Words 题解

2021-02-11 09:34:52 作者：互联网

A 题面

对于一个仅含小写字母的字符串 $a$ ，若 $p$ 为 $a$ 的前缀且 $p\ne a$ ，那么我们称 $p$ 为 $a$ 的 $proper$ 前缀。

规定字符串 $Q$（可以是空串）表示 $a$ 的周期，当且仅当 $Q$ 是 $a$ 的 $proper$ 前缀且 $a$ 是 $Q+Q$ 的前缀。

例如 $ab$ 是 $abab$ 的一个周期，因为 $ab$ 是 $abab$ 的 $proper$ 前缀，且 $abab$ 是 $ab+ab$ 的前缀。

求给定字符串所有前缀的最大周期长度之和。

输入样例：8 babababa

输出样例：24

B 解题

首先概述一下题意：对于一个长度为 $k$ 的字符串 $A$ 的每个前缀 $\text{pre}(A, i)$，求出最长的字符串 $S_i$ 使得 $|S_i|<i$ 且 $A_i$ 是若干个 $S_i$ 连接在一起的前缀。求出 $|S_1|+ |S_2| + \cdots + |S_k|$ 。

我们通过样例来看看，比如我们取 $\text{A}=$babababa 的前缀 $\text{P}$= bababa，我们将两个字符串 $\text{A}$ 和 $\text{P+P}$ 放在一起来比对一下：

P+P:bababa bababa
A:  bababa ba

我们发现 $\text{A}$ 的后两个字符与 $\text{PP}$ 的后面的 $\text{P}$ 前两个的位置相同。这前两个字符其实就是 $\text{A}$ 的前缀，同时也是 $\text P$ 的公共前缀后缀。题目要求这个前缀 $\text P$ 需要是 $proper$ 前缀，此处可以窥见 KMP 算法的端倪了。

让我们画张图看看（~~作者不会画图~~）

图中，相同颜色线段表示相同字符串

线段 $\text{AG}$，红色线段是字符串 $A$
线段 $\text{AD=CG}$ 橙色线段是 $A$ 的 $proper$ 前缀 $P$
线段 $\text{AB=FG}$ 棕色线段是 $P$ 的前后缀

可以发现线段 $\text{AF}$ ，蓝色线段即使答案之一（一下用加 $\prime$ 的方式表示 $\text{AF}$ 复制得到的那一段）

脑补一下，蓝色线段复制一下，$\text A^{\prime}\text B^{\prime}$ 段和 $\text{FG}$ 段重合，然后 $\text B^{\prime} \text F^{\prime}$ 段和 $\text{AD}$ 段重合。

这不就是 KMP 算法吗？我们把上述的线段用 KMP 的 $nex$ 数组表示出来（虽然我更喜欢叫他 $fail$ 数组）

线段 $\text{AD=CG}$ 橙色线段是 $nex[|\text A|]$
线段 $\text{AB=FG}$ 棕色线段是 $nex[|\text P|]$，也就是 $nex[next[|\text A|]]$

题目要求的是什么呢？是想让周期尽可能的大，也就是线段 $\text{FG}$ 尽可能的短，

所以答案就是 $|\text A|-\min(\text A的公共前缀后缀)$

于是最开始，设 $j=nex[|\text A|]$ ，然后直接暴跳到 $nex[j]=0 $ 的时候就可以了。

但是有一个问题，这样不断地跳，可能会造成时间复杂度退化成 O(n^2)，那我们怎么办？

可以发现我们跳 $nex$ 的过程很像递归，所以可以借助记忆化的思想，把刚才求出的最短公共前缀后缀的长度更新到 $nex$ 数组里头（之前求最长公共前缀后缀的长度的数组），具体见代码。这种方法的时间复杂度依然是 $O(n)$ 的
第二种想法具体看这里，其主要思想是通过倍增

C 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;//不开long long见祖宗好吧
const int N = 1000010;

char s[N];
int n,fail[N];//这里的 fail 数组就是 KMP 自匹配的 nex 数组

int main(){
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    ll ans=0;fail[1]=0;
    for(int i=2,j=0;i<=n;i++){//KMP 模板
        while(j&&s[i]!=s[j+1])j=fail[j];
        if(s[i]==s[j+1])j++;
        fail[i]=j;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int j=i;
        while(fail[j])j=fail[j];//求最短匹配长度
        if(fail[i])fail[i]=j;//修改 fail 数组，记忆化
        ans+=i-j;//答案显然就是 i-j，统计一下
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

标签：prime,前缀,题解,线段,POI2006,Periods,nex,text,字符串
来源： https://www.cnblogs.com/wyb-sen/p/14397307.html