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线性代数学习笔记4——矩阵的逆

作者:互联网

在进行矩阵的运算的时候,我们会发现我们没有定义矩阵的除法,但是经常又需要做类似的操作,因而我们引入矩阵的逆的概念,用以填补这个空白。

矩阵的逆

由于我们在定义矩阵运算的时候只定义了数乘和矩阵乘法,而没有除法运算。和逆元的产生一样,我们为了定义出除法,我们采用乘一个数/矩阵得到单位1/单位矩阵的方法,并定义这个数/矩阵为原数/原矩阵的乘法。

注:单位矩阵是一个除了主对角线为1,其他全为0的方阵。由于阶数不固定,因而有无穷多种单位矩阵。

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\end{bmatrix} ⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​

定义:设 A A A为 n n n阶方阵,若存在 n n n阶方阵 B B B,使得 A B = B A = I AB=BA=I AB=BA=I,则称 B B B为 A A A的逆,并称 A A A为可逆矩阵。 记 A − 1 A^{-1} A−1为 A A A的逆。

若 A A A可逆,则逆唯一。

证明:若 B B B与 C C C都是 A A A的逆,由定义 A B = B A = I AB=BA=I AB=BA=I, A C = C A = I AC=CA=I AC=CA=I,则有:

B = I B = ( C A ) B = C ( A B ) = C I = C B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C

即 B = C B=C B=C

有一种用行列式来判定和计算矩阵是否可逆的方法,过于繁琐,不适用于计算,只在此介绍。

定义:设 n n n阶方阵

[ a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 n a 12 a 22 a 23 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a12​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​a13​a23​⋮an3​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​

由 A A A的行列式 ∣ A ∣ |A| ∣A∣中元素 a i j a_{ij} aij​的代数余子式 A i j A_{ij} Aij​构成的如下 n n n阶方阵:

A ∗ = [ A 11 A 21 A 31 ⋯ A n 1 A 12 A 22 A 32 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 A 3 n ⋯ A n n ] A^*=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & A_{3n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{bmatrix} A∗=⎣⎢⎢⎢⎡​A11​A12​⋮An1​​A21​A22​⋮An2​​A31​A32​⋮A3n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​

称 A ∗ A^* A∗为 A A A的伴随矩阵,而 A A A可逆的充要条件为 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣​=0,且

A − 1 = A ∗ ∣ A ∣ A^{-1}=\frac{A^*}{|A|} A−1=∣A∣A∗​

此处证明需要用到行列式的性质,在此略去。

下文有更简单的判定和计算方法。

逆变换有一重要性质:若 A , B A,B A,B均可逆,则 A B AB AB也可逆,且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1。该性质可以反复利用,因此可以拓展到 k k k个可逆行列式相乘:

( A 1 A 2 … … A k ) − 1 = A k − 1 A k − 1 − 1 … … A 1 − 1 (A_1A_2……A_k)^{-1}=A_k^{-1}A_{k-1}^{-1}……A_1^{-1} (A1​A2​……Ak​)−1=Ak−1​Ak−1−1​……A1−1​

初等矩阵

把单位矩阵进行一次初等行变换,就得到了初等矩阵。复习一下,初等行变换有以下三种:

1.交换矩阵的任意两行。

2.用一个非零整数 k k k乘矩阵的任意一行。

3.将矩阵中某一行乘以 k k k倍加到另外一行。

因此对于三阶单位矩阵 I 3 I_3 I3​

[ 1 0 0 0 1 0 − 4 0 1 ] [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 5 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ -4 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​10−4​010​001​⎦⎤​⎣⎡​010​100​001​⎦⎤​⎣⎡​100​010​005​⎦⎤​

均为初等矩阵。

由于初等行变换可逆(可以改过去又可以改回来),因此初等矩阵可逆。

证明:设 E E E为一初等矩阵,由于 E I = E EI=E EI=E,因此任意一个初等矩阵可以视为对 I I I矩阵的一种变换,使其变为 E E E矩阵。由于初等行变换可逆,则存在 E E E变换的逆变换 F F F,将 E E E矩阵变回 I I I,因此 E F = I EF=I EF=I,即 E E E可逆,且其逆为 E E E的逆变换。


到此可以引出本题的证明了:

方阵 A A A可逆,当且仅当 A A A行等价于 I n I_n In​ ,即 A A A经过若干次行变换可以变成 I n I_n In​

充分性:由于 A A A可逆,则方程 A x = b Ax=b Ax=b必有解,其中 x , b x,b x,b均为向量(求解只需要在等式两边左乘以 A − 1 A^{-1} A−1即可)。那么,对于解 x x x:

x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

必可写出与 A A A等价的增广矩阵 A ′ A' A′(因为解一样):

A ′ = [ 1 x 1 1 x 2 ⋱   ⋮ 1 x n ] A'=\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&&&&x_1\\ &1&&&x_2\\ &&\ddots\ && \vdots\\ &&&1&x_n \end{array} \right] A′=⎣⎢⎢⎢⎡​1​1​⋱ ​1​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

那么原矩阵必与 I n I_n In​等价,否则无法化简成 A ′ A' A′

必要性:如果 A A A等价于 I n I_n In​,则 A A A是由若干次初等行变换得到。对于每次初等行变换都有一个对应的初等矩阵,那么这些操作可以被记作:

E p E p − 1 … … E 1 A = I n E_pE_{p-1}……E_1A=I_n Ep​Ep−1​……E1​A=In​

由矩阵逆的另一种定义,若 A A A可逆,则必存在一种能让 A A A回到 I n I_n In​的方法。考虑对上式两边左乘 ( E p E p − 1 … … E 1 ) − 1 (E_pE_{p-1}……E_1)^{-1} (Ep​Ep−1​……E1​)−1

( ( E p E p − 1 … … E 1 ) − 1 E p E p − 1 … … E 1 ) A = ( E p E p − 1 … … E 1 ) − 1 I n ((E_pE_{p-1}……E_1)^{-1}E_pE_{p-1}……E_1)A=(E_pE_{p-1}……E_1)^{-1}I_n ((Ep​Ep−1​……E1​)−1Ep​Ep−1​……E1​)A=(Ep​Ep−1​……E1​)−1In​

即 A = ( E p E p − 1 … … E 1 ) − 1 A=(E_pE_{p-1}……E_1)^{-1} A=(Ep​Ep−1​……E1​)−1,为可逆矩阵的乘积,因此 A A A可逆,且 A − 1 = E p E p − 1 … … E 1 A^{-1}=E_pE_{p-1}……E_1 A−1=Ep​Ep−1​……E1​。因此, A − 1 A^{-1} A−1可以由 E 1 , E 2 , … … , E p E_1,E_2,……,E_p E1​,E2​,……,Ep​依次作用于 I n I_n In​得到。

得证。


接下来就是解法时间

我们把 A A A和 I n I_n In​置于同一矩阵中:

[ A I n ] \begin{bmatrix} A & I_n \end{bmatrix} [A​In​​]

对其进行高斯-若尔当消元操作将 A A A变换为 I n I_n In​。由于是在同一矩阵中,因此 A A A和 I n I_n In​得到的操作都是一样的。我们只需要让前面的 A A A变换为 I n I_n In​,那么对于同一过程, I n I_n In​就会变成矩阵的逆。

用一张图来表示这个互相转化关系:

A ⇔ P ′ P I n ⇔ P ′ P A − 1 A\stackrel{P}{\underset{P'}{\Leftrightarrow}}I_n\stackrel{P}{\underset{P'}{\Leftrightarrow}}A^{-1} AP′⇔​P​In​P′⇔​P​A−1

下面是洛谷P4783的代码,内含逆元,但是大体思路一样,因而还是放上代码。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const long long mod = 1000000007;
long long power(long long a,int x)//快速幂板子
{
    long long ans = 1;
    while(x)
    {
        if(x&1)
        {
            ans *= a;
            ans %= mod;
        }
        a *= a;
        a %= mod;
        x >>= 1;
    }
    return ans % mod;
}
long long a[405][805];
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d", &n);
    m = 2 * n;//矩阵的宽
    for (int i = 1; i <= n;i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n;j++)
            scanf("%lld", &a[i][j]);
        a[i][i + n] = 1;//后面要跟上一个n阶单位矩阵
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)//高斯-若尔当消元的板子
    {
        int place = i;
        for (int j = i + 1; j <= n; j++)//找到绝对值最大的元素开始消元
            if(abs(a[j][i])>abs(a[place][i]))
                place = j;
        if (i != place)
            swap(a[i], a[place]);
        if(!a[i][i])//如果某行没有主元则A无法化为单位矩阵,无解
        {
            printf("No Solution");
            return 0;
        }
        long long inv = power(a[i][i], mod - 2);//本题加入的逆元特色
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if(j!=i)
            {
                long long multiple = a[j][i] * inv % mod;//等价于除以a[i][i],消去其他行在第i列上的数,使之变成简化阶梯形矩阵
                for (int k = i; k <= m; k++)
                    a[j][k] = ((a[j][k] - a[i][k] * multiple) % mod + mod) % mod;
            }
        for (int j = 1; j <= m; j++)//由于此处需要简化阶梯型矩阵,要把原矩阵化为简化矩阵的必须操作。
        //“在使用高斯-若尔当消元的时候,计算机计算的时候通常采用回带法,而人操作的时候建议采用此法。”——《线性代数及其应用》
            a[i][j] = (a[i][j] * inv % mod);
    }
    for (int i = 1; i <= n;i++)
    {
        for (int j = n + 1; j <= m; j++)//只打印后面,前面的单位矩阵不要打出来了
            printf("%lld ", a[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

标签:可逆,矩阵,long,线性代数,笔记,bmatrix,Ep,vdots
来源: https://blog.csdn.net/m0_52048145/article/details/113442257