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线段树区间gcd和区间最大绝对值差

2021-01-23 16:34:34 作者：互联网

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/949/H
来源：牛客网

小阳手中一共有 n 个贝壳，每个贝壳都有颜色，且初始第 i 个贝壳的颜色为 col 。现在小阳有 3 种操作：

1 l r x：给 [l,r] 区间里所有贝壳的颜色值加上 x 。

2 l r：询问 [l,r] 区间里所有相邻贝壳 颜色值的差（取绝对值） 的最大值（若 l=r 输出 0）。

3 l r ：询问 [l,r]区间里所有贝壳颜色值的最大公约数。

输入描述:

第一行输入两个正整数 n,m，分别表示贝壳个数和操作个数。
第二行输入 n 个数 ^col，表示每个贝壳的初始颜色。
第三到第 m+2 行，每行第一个数为 opt，表示操作编号。接下来的输入的变量与操作编号对应。

输出描述:

共 m 行，对于每个询问（操作 2 和操作 3）输出对应的结果。

示例1

输入

复制

输出

复制

备注:

前置知识:差分数组、线段树

差分数组

设原数组为 $a_i$ , 令 $b_i = a_i - a_{i - 1}$ , 称 $b[i]$ 为 $a[i]$ 的差分数组。
差分数组有什么好处呢?
首先不难得到 $a_i = \sum\limits_{i = 1}^n b[i] = (b[1] + b[2] - b[1] + .... + b[i] - b[i - 1])$
另外，对原数组 $a_i$ 进行区间 $[l, r]$ 加 $x$ 的操作时只需要令:

$b_l = b_l + x$ ， $b_{r + 1} = b_{r + 1} - x$ 。这样做的目的是为了让我们每次查询 $a_i = \sum\limits_{i = 1}^n b[i]$ 的时候都能保证 $[l, r]$ 的结果都是比原来多 $x$ 的，从而实现了区间加法操作。

线段树是一种能够支持 $O(logn)$ 复杂度进行区间查询，区间修改的数据结构。

题目是经典区间修改及查询问题，需要特定的数据结构进行求解。仔细观察每一个操作，不难发现:

操作1能够用上述差分数组的区间加操作完成，转换成线段树的单点修改。
操作2查询的差分数组区间的最大绝对值，转换为线段树的区间最大值查询，需要维护一个绝对值最大的值。
操作3中，因为 $gcd$ 值可以通过线段树维护，由定理 $gcd(a, b) = gcd(a, b - a), gcd(a, b, c) = gcd(a, b - a, c - b)$ 得到启发，我们在查询 $[l, r]的gcd$ 的时候可以转化为 $gcd(a_l, a_{l + 1} - a_{l}, a_{l + 2} - a_{l + 1}, \dots,a_r - a_{r - 1}) = gcd(\sum\limits_{i = 1}^l b_i, k)$ , $k$ 是差分数组 $b_i$ 在区间 $[l + 1, r]$ 的 $gcd$ 。

于是通过对差分数组建立线段树，维护线段树上的 $sum, |maxz|, gcd$ 三个值，就能解决这道题。
注意线段树上查询区间 $gcd$ 时间复杂度是 $O(logn * loga_i)$ , 本题保证 $a[i] <= 1000$ , 可视为常数
总体时间复杂度 $O(mlogn)$

标签：gcd,贝壳,线段,差分,数组,区间,操作
来源： https://www.cnblogs.com/lipu123/p/14318031.html