midpoint method v.s. trapezoid method 中点公式与梯形公式的优劣对比[数值积分]
作者：互联网
在计算数值积分时，中点公式和梯形公式是两个最基本的方法，其计算公式如下：
\[\begin{align*} \text{Midpoint Method:}\quad & I_{M} = (b-a)f\Big(\frac{a+b}2\Big) \\ \text{Trapezoid Method:}\quad & I_{T} = (b-a)\Big[\frac{f(a)+f(b)}2\Big] \\ \end{align*} \]相应的，如果记\(M = \max_{a\le x\le b} |f''(x)|\)，则基于二阶导数信息的误差估计如下：
\[\begin{align*} |E_M| \le \frac{M(b - a)^3}{24}\\ |E_T| \le \frac{M(b - a)^3}{12} \end{align*} \]于是，我们发现了一个令人惊异的事实——尽管梯形公式用了比中点公式更多的点，其误差的上界反而不如中点公式，通俗地说，理论上讲，中点公式是一种让人更安心的公式，因为理论上，它造成的最大的误差会小于梯形公式。
事实上，有很多情况，中点公式确实是优于梯形公式的：
- 当函数是三次函数的时候，中点公式的误差恰好是梯形公式的误差的-1/2倍；
- 当函数是凹/凸函数时，梯形公式会造成过少/过多的估计，而中点公式能够中和这种凹凸性，从而使结果更精确；
- 当函数的二阶导数变化不快，也即近似于三次函数时，中点公式的误差差不多也是梯形公式的误差的-1/2倍。
那么，梯形公式真的有那么不堪么？其实，也不尽然，首先，前述误差估计是对上界的一个估计，它并不一定反映了实际误差间的关系。也即有些时候，梯形公式的误差的确是要小于中点公式的。
这里我找到了一个简单的例子：
\[\begin{align*} f(x) = & \operatorname{sigmoid}(x) = \frac{\exp(x)}{\exp(x)+1}\\ \int_{-9}^{11} f(x)\, \mathrm{d}x \approx & 10.99999\\ I_M = & 20\times f(1) = 14.6212 \\ I_T = & 20\times \Big[\frac{f(-9)+f(11)}2\Big] = 10.0011 \\ E_M = & 3.6213 \\ E_T = & -0.9988 \end{align*} \]此时，显然有\(|E_T| \le |E_M|\)，结合图形观察可以发现，对于这种导数在中点附近变化剧烈的情况，梯形公式在某种意义上是一种比中点公式更稳定的选择。
另外，在数值ode，pde中，中点公式和梯形公式对应的时间离散格式也是有完全不同的数值表现的，今天不具体展开了。
标签：误差,frac,公式,align,midpoint,梯形,Big,method 来源： https://www.cnblogs.com/HanDoMind/p/14300007.html