高等代数往年题2019

1.

(a).求正交对角化一个实对称矩阵的正交矩阵。即先求出A的特征值，然后求出特征向量，然后同一个特征值内的要正交化，然后单位化。
(b).用到了结论：这个数在特征值之间。球面只是给出了模长。

2.化为标准型

方法1：初等行列变换
方法2：配方（x1x2换成平方差，x3不变）（啊那多于3个的怎么配方？） （本题最优）
方法3：和（1)一样求正交的

3.

(a)是课本习题的原题，(P143)利用把B列向量写出来，得到B的列向量都是Ax=0的解。
或者利用希尔维斯特秩不等式。（P164）
(b)Witt的传统艺能，分解、解空间、有n个线性无关的特征向量。

4.课本原题（P210）同时对角化

先按照课本的换元即可。

如果A B是实对称矩阵，B正定，那么存在可逆矩阵T,T^tAT,T^tBT同时是对角矩阵。
证明 凑。
正定矩阵的性质B=CC^T，T^tBT又化成了那种一对转置相乘的感觉。但是肯定不是在这换元。
得想办法让A和B/C有关啊。
我们还得找那么一个本体的矩阵，也就是要构造一个实对称来获取T的老爹。
还没用C可逆呢..
总之对于C^-1A（C^-1)^T找那个P。
然后取T=（C^-1)^TP即可。
得到的T^tBT甚至是单位矩阵。

5.实对称矩阵正定的充要条件

使用的是：合同标准型元素都是正的。
AA^T与A^TA有相同的非零特征值（也就是硬表示然后发现是用行列式结论，再往前是用矩阵初等变换之后取行列式。）
这是AA^T与A^TA的一个需要关注的性质，要不然咋入手，除了反着写。
但是这个结论的本体是A B，现在B更特殊，体现在：
AA^T与A^TA本身实对称
那么本身就可以写出特征值分解。