【图论】矩阵树定理

允许重边，不允许自环。

无向图：

度数矩阵：D[i][i]=deg[i]
邻接矩阵：A[i][j]=edge[i][j]的数量 注意不可以有自环
Laplace矩阵： L=D-A

生成树个数记为 \(t(G)\)

无向图矩阵树定理：

对于所有的i，把Laplace矩阵的第i行和第i列删除，然后计算其行列式。
设 $L_i(G,i) = L(G) 删除第i行和第i列 $ 的结果
\(t(G)=det(L_i(G,i))\) 也就是说，Laplace矩阵的所有n-1阶主子式的行列式的值都相同，可以任意选择一个计算。

也可以使用什么特征值形式。

有向图：

入度矩阵：Din[i][i]=din[i]
出度矩阵：Dout[i][i]=dout[i]
邻接矩阵：A[i][j]=edge[i][j]的数量 注意不可以有自环
入度Laplace矩阵： Lin=Din-A
出度Laplace矩阵： Lout=Dout-A

图G的以r为根节点的根向树形图个数记为 \(t^{root}(G,r)\) ，根向树形图是指，基图是一棵树，边全部指向父节点。
图G的以r为根节点的叶向树形图个数记为 \(t^{leaf}(G,r)\) ，叶向树形图是指，基图是一棵树，边全部指向子节点。

有向图矩阵树定理：

对于所有的k，把入度Laplace矩阵的第k行和第k列删除，然后计算其行列式。
设 $L^{in}_k(G,k) = L^{in}(G) 删除第k行和第k列 $ 的结果
\(t(G,k)=det(L^{in}_k(G,k))\)

所以，如果要统计所有的根向树形图，则枚举k然后求和。
同理有叶向树形图。

标签：图论,定理,入度,矩阵,树形图,Laplace,自环,节点
来源： https://www.cnblogs.com/purinliang/p/14223802.html