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中值定理及导数的应用 — 高等数学（未完待续...）

作者：互联网

文章目录

考点一：罗尔定理

罗尔定理

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1、罗尔定理的验证

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例题
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2、利用罗尔定理证明根的存在性

（1）构造辅助函数

（2）验证罗尔定理的三个条件

（3）由罗尔定理得结论

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3、利用罗尔定理判断根的个数

例题
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笔记

  1. 对于具体函数：写显然可导 对于抽象函数：写因为…连续可导，所以…连续可导
  2. f(x)/x^2 求导后 可得：f’(x) - 2f(x)
  3. f(x)时五次多项式 推导出 f’(x)是四次多项式 推导出 f’(x)=0最多有4个实根
  4. 闭区间上连续，开区间上可导

考点二：拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理

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1、拉格朗日中值定理的验证

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例题
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2、利用拉格朗日中值定理证明不等式

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3、利用拉格朗日中值定理的推论证明恒等式

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例题
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笔记

  1. 区间断点看，将中间部分写成差的形式
  2. ln1=0
  3. 开区间要分情况讨论
  4. lnM-lnN=lnM/N

考点三：洛必达法则

知识点

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例题
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笔记

  1. 看到∞/∞，0/0时，分子分母同时求导
  2. 当x→0时，1-cos2x 与 二分之一 * x^2 等价
  3. 加减时不能等价无穷代换，乘除时才可以
  4. 看到幂指函数，一定会用到公式：u^v = e^vlnu
  5. 当x→0时，sinx 与 x 等价
  6. 用洛必达之前，式子能化简化简，否则会越解越复杂
  7. 如果乘除的某一个因子，它的极限算出来是非零常数，可以考虑先把这个非零常数先算出来
  8. 1+tan^2 x = sec^2 x

考点四：函数的单调性

1、定义

2、判断

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例题
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3、求单调区间

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例题

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4、利用单调性证明不等式

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例题
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笔记

  1. 要知道函数单调性，需要对函数进行求导
  2. 1-cosx >= 0
  3. 分解因式
  4. 求单调区间要与定义域取交集

考点五：函数的极值

1、极值的定义

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2、驻点

3、极值的必要条件

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例题
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4、极值的充分条件

（1）第一充分条件

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（2）第二充分条件

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例题

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笔记

  1. 求驻点就是求导，让导数=0 即可
  2. 可导函数的极值点一定是驻点，驻点就是导数 = 0 的点
  3. 可微 => 可导

标签：...,例题,拉格朗,定理,未完待续,考点,罗尔,日中值,高等数学
来源： https://blog.csdn.net/qq_27494201/article/details/111356886