cinta作业10

• 设 p p p是奇素数，请证明 Z p ∗ \Z_p^* Zp∗​的所有生成元都是模 p p p的二次非剩余。
  令 a a a为 Z p ∗ \Z_p^* Zp∗​任意一个生成元，则有 a p − 1 ≡ 1 ( m o d   p ) a^{p-1}\equiv1(mod \space p) ap−1≡1(mod p)，且 p − 1 p-1 p−1是使 a p − 1 ≡ 1 ( m o d   p ) a^{p-1}\equiv1(mod \space p) ap−1≡1(mod p)得最小元素，若 a a a使模 p p p的二次剩余，则根据欧拉准则，则有 a p − 1 2 ≡ 1 ( m o d   p ) a^{\frac{p-1}2}\equiv1(mod\space p) a2p−1​≡1(mod p)， p − 1 2 < p − 1 \frac{p-1}{2}<p-1 2p−1​<p−1，矛盾，所以 Z p ∗ \Z_p^* Zp∗​的所有生成元都是模 p p p的二次非剩余。

• 利用二次互反律，写程序完成勒让德符号 ( q p ) \left(\frac{q}{p}\right) (pq​)的计算， p p p和 q q q是任意的奇素数。

  def legendre_symbol(a, p):
      ans = 0
      if a == -1 or a == 3:
          if p % 4 == 1 or p % 4 == 0:
              ans = 1
          elif p % 4 == 3:
              ans = -1
          return ans
      elif a == 2:
          if p % 8 == 1 or p % 8 == 7:
              ans = 1
          else:
              ans = -1
          return ans
      elif a % 2 == 0:
          return legendre_symbol(2, p) * legendre_symbol(a/2, p)
      else:
          if a % 4 == 1 or p % 4 == 1:
              return legendre_symbol(p % a, a)
          elif a % 4 == 3 and p % 4 == 3:
              return legendre_symbol(p % a, a) * -1
  
  
  n1, n2 = map(int, input().split(' '))
  symbol = legendre_symbol(n1, n2)
  print(symbol)
  

标签：10,elif,legendre,symbol,作业,ans,return,cinta,mod
来源： https://blog.csdn.net/glancelike/article/details/110768798