Mathematics Yes!——数学draft

更新日志：

2020.11.07 开坑（ 质数口胡部分）。

2020.11.10 更新一次（约数还没完呢）。

ta还会继续咕咕咕

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质数

素数筛

\(Eratosthenes\)筛(\(O(\sum_{p\in primes}^{n}\frac{n}{p}=n log n)\)：

for(int i=2;i*i<=n;i++)
{
	if(Isntpri[i]==0)//是质数
	{
		for(int j=i*2;j<=n;j+=i){Isntpri[j]++;}
	}
}

\(Euler\)筛(\(O(n)\))：

for(int i = 2; i <= n; i++)
{
	if(isPrime[i])
	Prime[++cnt]=i;
	for(int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=n;j++) 
    {
    	isPrime[i*Prime[j]]=0;
    	if(i%Prime[j]==0)break;
    }
}

思考，对于线性的欧拉筛，我们是否可以顺带记录下相应的最小质因子，这样每个和数只会被其最小质因子筛一次，最后找prime数组中的素数达到筛素数的效果。（设\(f_i\)为\(i\)的最小质因子，当且仅当\(f_i=i\)时\(i\)为素数。）

这个思路来自李煜东的《算法竞赛进阶指南》因为思路与题解较有不同，特此提出。

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质因数分解：

\(Lemma\):任何一个大于1的正整数都能分解为有限个质数的乘积。

void dvd(int x)
{
	int cnt=0;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		if(n%i==0)pri[++cnt]=i,c[cnt]=0;
		while(!(n%i))n/=i,c[cnt]++;
	}
	if(n>1)p[++cnt]=n,c[cnt]=1;
    //p为有多少种质因子，c为这些质因子的指数
}

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判断质数：

思路类似于质因数分解，直接试除。代吗略。
\(Miller-Robin\)等算法日后可以进行学习。（毕竟是带有随机性的算法）

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约数

求约数

我们有这么一个叫做算数基本定理的东西。

其实就是将任何一个大于\(1\)的正整数(\(N\))都可以分解为有限个质数(\(p_i\))的乘积。

\[N=\prod_{i=1}^{m} p_i^{c_i} \]

正约数的集合可以是

\[\left\{ p_1^{i_1},p_2^{i_2} … p_m^{i_m}\right\} )(0 \leq i_k\leq c_k) \]

那么\(N\)的所有正约数个数则是

\[\prod_{i=1}^m(c_i+1) \]

正约数的和则为

\[\prod_{i=1}^m(\sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^j) \]

然后我们进入算法的学习。

对于求一个数的所有正约数，非常简单，只需要\(O(\sqrt N)\) 扫一遍，每次记录下一对约数($ d & \frac{N}{d}) $ 就可以了。

对于求一个区间，或者是\(1-N\)每个数的正约数集合，我们考虑每个数的倍数必然将这个数作为约数。采用类似筛法的思想可以得出集合。

factors[i*j][++cnt[i*j]]=i;(j<=n/i)

factors[i*j].push_back(i);(j<=n/i)//vector

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最大公约数(\(gcd\))

\(gcd\)应该算是基础\(OI\)数学知识中最重要的一项。所以就不讲了吧

还是先给几个定理：

\[\forall a,b \in \mathbb N, gcd(a,b)\times lcm(a,b)=a \times b \]

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同余

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标签：约数,cnt,int,质数,素数,因子,draft,Mathematics,Yes
来源： https://www.cnblogs.com/reywmp/p/14014754.html