WQS二分学习笔记

完全没看懂……

事情的起因，是一道叫做林克卡特树的题。

题目大意：从一棵树中选出 \(k+1\) 条非相邻链，要求链的权值和尽量大。有负权边。

首先能想到一个简单的DP，\(f[i][j][0/1/2]\)：以\(i\)为根的子树中，选了\(j\)条链，0：\(i\)没选 1：\(i\)在链的端点上

2：\(i\)在一条链中间

时间复杂度\(O(nk^2)\)，可以摸到45分的好成绩。

优化

很明显我们还需要进一步优化。

对\(k\)打表后我们发现，\(k\)递增的情况下\(f[1][k]\)是一个上凸函数（图像类似于二次函数图像）。

简略证明:由于图中存在负权边，所以选边时肯定优先不选这些负权边。但随k的增大负权边会被删完，此时只能开始不选正权边，于是出现了答案先上升后下降的趋势

所以，我们可以使用一种叫WQS二分的方法进行优化。

WQS二分

wqs二分一般用于一种特殊的背包问题：有\(n\)个带权物品，选用物品时有一定限制，需要取\(m\)个物品，要求取出的权值和尽量大。且若设取出权值和为\(f(m)\)，\(f(m)\)必须为关于\(m\)的上凸函数。

假设\(f(m)\)图像如下

我们先画出一条这个函数的切线

设这条切线的解析式为\(f(x)=k\times x+b\)。则切线在纵坐标轴上的截距可以用\(b=f(x)-k\times x\)表示。同时，有一个显而易见的结论：平移这条切线，保证与函数相交的情况下这条直线的纵截距不会超过切线的截距。

所以，只要我们能找到\(b_{max}\)，就能求出当前斜率下的\(f(x)_{max}\)，进而求出当前切点的\(x\)值。

我们再观察\(b\)的表达式。观察到\(f(x)\)的含义是取\(x\)个带权值的物品时最大权值和。所以，我们想到把所有物品的权值都\(-k\)，就能完美地用一个新函数\(f'(x)\)来表示出\(b\)。

为了验证当前斜率是否是答案，我们可以用\(f'(x)\)进行不限物品数量的动态规划，同时记录下\(f(x)\)的最佳转移点。取出最佳转移点的物品使用量，再与要求的量\(m\)进行比较。如何调整斜率根据题目而定。若最佳转移点有多个，我们可以选择取靠后的哪个。

于是，我们成功把林克卡特树优化到了\(nlog(k)\)。

参考:!(https://www.cnblogs.com/dummyummy/p/10574081.html)(https://www.cnblogs.com/dummyummy/p/10574081.html)

标签：二分,切线,WQS,笔记,权值,物品,负权
来源： https://www.cnblogs.com/cooper233/p/13955290.html