题解 P2455 【[SDOI2006]线性方程组】

update：对一处表述错误进行了修正，求过qwq

常规的思路：高斯消元

高斯消元

这是一种用来求解线性方程组的算法，在方程数较多的时候尤其省时。

对于一个 \(n\) 元线性方程组：

\[\begin{cases} a_{1_1}x_1+a_{1_2}x_2+ \cdots +a_{1_n}x_n=b_1\\ a_{2_1}x_1+a_{2_2}x_2+ \cdots +a_{2_n}x_n=b_2\\ \vdots\\ a_{n_1}x_1+a_{n_2}x_2+ \cdots +a_{n_n}x_n=b_n\\ \end{cases} \]

要解它，我们的第一反应显然是消元。

这里给出对于方程组中方程变换最常用的三个法则：

1. 两个方程位置互换，解不变。

2. 方程两边同时乘一个非零实数 \(k\) ，解不变

3. 方程乘一非零实数 \(k\) ，再加上另一个方程，解不变

对应到系数矩阵中去，就是矩阵的初等行变换。

我们还知道，对于任意矩阵都能通过初等行变换转化为一个上三角矩阵

所以这个线性方程组的系数矩阵：

\[\begin{bmatrix} a_{1_1}&a_{1_2}&\dots&a_{1_n}\\ a_{2_1}&a_{2_2}&\dots&a_{2_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\\ a_{n_1}&a_{n_2}&\dots&a_{n_n}\\ \end{bmatrix} \]

可以被转化成上三角形式：

\[\begin{bmatrix} a_{1_1}&a_{1_2}&\dots&a_{1_n}\\ &a_{2_2}&\dots&a_{2_n}\\ &&&\vdots\\ & & &a_{n_n}\\ \end{bmatrix} \]

对应到方程就是：

\[\begin{cases} a_{1_1}x_1+a_{1_2}x_2+ \cdots +a_{1_n}x_n=b_1\\ a_{2_2}x_2+ \cdots +a_{2_n}x_n=b_2\\ \vdots\\ a_{n_n}x_n=b_n\\ \end{cases} \]

显然最后方程能被直接解出来，解出的根又可以向后代入上一个方程里面。

具体步骤：

枚举每一列c：(相当于把 \(x_c\) 作为当前处理的列主元)

1. 找到绝对值最大的一行，将这一行与顶行交换位置，这行不再移动。

这一步是为了将绝对值最大的 \(a_{r,c}\) 做除数，减少计算时的误差

2. 等式两边同除，将该行第一个数变为 \(1\)。

系数化一，方便后面求解

3. 通过等式之间加减，将当前列下面的所有数消为\(0\)。

要构造上三角矩阵，这是必要

4. 重复至最后一列，然后回代求解。

如果求解过程中发现有方程出现 \(\text{非零常数}=0\) 的情况，则方程组无解。

出现了\(0=0\)的情况，则有无数多组解。

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=110;
const double eps=1e-6;//double精度

int n;
double a[N][N];

int gauss()
{
	int c,r;//c表示在枚举哪一列，r表示在枚举哪一行
	for(c=0,r=0;c<n;c++)
	{
		int t=r;
		for(int i=r;i<n;i++)
		{
			if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c]))//定位到当前列主元的最大系数所在行 
				t=i;
		}
		
		if(fabs(a[t][c])<eps) continue;
		
		for(int i=c;i<=n;i++)	swap(a[t][i],a[r][i]);//交换这两行 
		for(int i=n;i>=c;i--)	a[r][i]/=a[r][c];//同除，系数化一 
		for(int i=r+1;i<n;i++)
		{
			if(fabs(a[i][c])>eps)
			{
				for(int j=n;j>=c;j--)
					a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];//相加减，消去列下面的系数 
			}
		}
		r++;
	}
	
	for(int i=n-1;i>=0;i--)//向后回代求解
	{
		for(int j=i+1;j<n;j++)
		{
			a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];
		}
	}
	
	if(r<n)
	{
		for(int i=r;i<n;i++)
		{
			if(fabs(a[i][n])>eps)
				return 2;//无解
		}
		return 1;//有无穷多组解
	}
	
	return 0;//有唯一解
}

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n+1;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	int t=gauss();
	if(t==0)//有唯一解
	{
		for(int i=0;i<n;i++) printf("x%d=%.2lf\n",i+1,a[i][n]);
	}
	else if(t==1)puts("0");
	else puts("-1");
	
	return 0; 
}

标签：dots,方程,int,题解,矩阵,cdots,SDOI2006,P2455,vdots
来源： https://www.cnblogs.com/IzayoiMiku/p/13909516.html