法线

三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定著曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

法线的计算[编辑]

对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程{\displaystyle ax+by+cz=d}表示的平面，向量{\displaystyle (a,b,c)}就是其法线。

如果S是曲线坐标x(s, t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为

{\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}}。

如果曲面S用隐函数表示，点集合{\displaystyle (x,y,z)}满足{\displaystyle F(x,y,z)=0}，那么在点{\displaystyle (x,y,z)}处的曲面法线用梯度表示为

{\displaystyle \nabla F(x,y,z)}。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

法线的唯一性[编辑]

  曲面（surface）上的法线向量场（vector field of normals）

曲面法线的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法线也是曲面法线。曲面在三维的边界（topological boundary）内可以分区出inward-pointing normal 与 outer-pointing normal, 有助于定义出法线唯一方法（unique way）。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。

法线的变换[编辑]

变换矩阵可以用来变换多边形，也可以变换多边形表面的切向量（tangent vector）。 设 n′ 为 W n。我们必须发现 W。

W n 垂直（perpendicular）于 M t

{\displaystyle \iff (Wn)\cdot (Mt)=0}

{\displaystyle \iff (Wn)^{T}(Mt)=0}

{\displaystyle \iff (n^{T}W^{T})(Mt)=0}

{\displaystyle \iff n^{T}(W^{T}M)t=0}

很明白的选定 W s.t. {\displaystyle W^{T}M=I}, 或 {\displaystyle W={M^{-1}}^{T}} 将可以满足上列的方程式，按需求，再以 {\displaystyle Wn} 垂直于（perpendicular）{\displaystyle Mt}, 或一个 n′ 垂直于 t′。

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