标签:day38 20201017 质数 long 4n 素数 整除 include 模拟
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problem
对有限集合\(A\),存在函数\(f:N→A\)具有下述性质:若\(|i-j|\)是素数,则\(f(i)≠f(j),N=\{1,2,…\}\).求有限集合A的元素的最少个数.
solution
【引理】\(\forall p\ge 2\),若\(p\)为质数,则\(p=4n+1\)或\(p=4n+3,n\in \mathbb N\)
证明:①所有大于2的素数都是奇数
②\(4n+1,4n+3\)表示了所有的奇数
【证明】
\(1,3,6,8\)中每两个数的差为素数,所以\(f(1),f(3),f(5),f(8)\)互不相同,\(|A|≥4\).
另一方面,令\(A=\{0,1,2,3\}\).对每一自然数\(n\),令\(f(n)=n\operatorname{mod} 4\),则在\(f(i)=f(j)\)时,\(|i-j|\)被4整除.所以不被4整除时,\(f(i)\neq f(j)\),因而\(|i-j|\)是质数。
因而\(f\)是满足条件的函数,A的元素个数最少为4.
code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
long long read(){
int a=0,op=1;char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') op=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){a*=10,a+=c^48,c=getchar();}
return a*op;
}
int n, ans = 0x3f3f3f3f, now, col[10], ans_col[10];
int main()
{
scanf("%d", &n);
if (n <= 6)
{
printf("%d\n", (n + 1) / 2);
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d ", (i + 1) / 2);
}
else
{
puts("4");
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d ", 1 + (i & 3));
return 0;
}
return 0;
}
标签:day38,20201017,质数,long,4n,素数,整除,include,模拟
来源: https://www.cnblogs.com/liuziwen0224/p/20201017day38-001.html
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