ICode9

精准搜索请尝试: 精确搜索
首页 > 其他分享> 文章详细

多项式全家桶(持续更新中)

2020-06-21 19:04:57  阅读:374  来源: 互联网

标签:lceil frac pmod 多项式 全家 更新 rceil equiv


更多代码请移步一些模板

多项式乘法

FFT/NTT,详见别人的博客。由于有些复杂,作者懒得写了。而且写了也对作者没什么意义。

多项式求逆

对多项式\(f(x)\) 求多项式 \(g(x)\) 使得 \(f(x)\cdot g(x)\equiv 1\pmod {x^n}\)

这里的\(\pmod {x^n}\) 的意义其实就是“\(x\) 的次数最低的 \(n\) 项”

做法

考虑使用倍增。设 \(h(x)\cdot f(x)\equiv1\pmod {x^{\lceil\frac{x}{2}\rceil}}\)。那么:

\[\because f(x)\cdot g(x)\equiv 1\pmod {x^{\lceil\frac{x}{2}\rceil}}\\\therefore f(x)(h(x)-g(x))\equiv 0\pmod {x^{\lceil\frac{x}{2}\rceil}} \]

观察 \(f(x)(h(x)-g(x))\) 的常数项,由于 \(f(x)\) 的常数项不为 0,所以 \(h(x)-g(x)\) 的常数项必然为 0(根据 \(f(x)(h(x)-g(x))\)的后 \(n\) 项均为 0 可知). 再观察 \(f(x)(h(x)-g(x))\) 的一次项,一次项是 \(f(x)\) 的常数项 * \(h(x)-g(x)\) 的一次项 + \(h(x)-g(x)\) 的常数项 * \(f(x)\) 的一次项。所以必然 \(h(x)-g(x)\) 的一次项也为 0.以此类推,\(h(x)-g(x)\equiv 0\pmod {x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil}}\) 。

考虑到这是在 \(\pmod x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil}\) 意义下的,那么平方就可以转化到 \(\pmod {x^n}\) 意义下的。于是有 \((h(x)-g(x))^2\equiv 0\pmod {x^{ n}}\)。展开可以得到 \(h(x)^2-2h(x)g(x)+g(x)^2\equiv 0\pmod {x^n}\) 。

发现这是一个关于 \(g(x)\) 的二次式,但是却不能使用求根公式求它,那样还得套上一个多项式开根。。所以考虑利用 \(f(x)\cdot g(x)\equiv 1\pmod {x^n}\) ,将等式两边同时乘以 \(f(x)\),这样可以将 \(g(x)\) 降次得到 \(g(x)\) 的最终表达式 \(g(x)=2h(x)-f(x)h(x)^2\)。

推这个的过程中用到了很多多项式变换的小技巧...

标签:lceil,frac,pmod,多项式,全家,更新,rceil,equiv
来源: https://www.cnblogs.com/skiceanAKacniu/p/13173574.html

本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享;
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关;
3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关;
4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除;
5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

专注分享技术,共同学习,共同进步。侵权联系[81616952@qq.com]

Copyright (C)ICode9.com, All Rights Reserved.

ICode9版权所有